[ntan(1/n)]^n^2=e^{n^2ln[ntan(1/n)]}
又tan(1/n)和1/n是等價無窮小,所以lim ntan(1/n)=1
所以lim ln[ntan(1/n)]=0
所以構(gòu)成不定型
由于f(n)是f(x)的子列,故把n換為x,若f(x)有極限,則f(n)也有極限
原式
lim n^2ln[ntan(1/n)]=lim x^2ln[xtan(1/x)]=lim [lnx+lntan(1/x)]/(1/x^2)
換元t=1/x,t→0
原式=lim [-lnt+lntant]/t^2
洛必達(dá)法則
=lim [-1/t+1/(sintcost)]/(2t)
=lim (t-sintcost)/(2t^2sintcost)
又lim cost=1,sint是t的等價無窮小,因此
=lim (t-sintcost)/(2t^3)
洛必達(dá)法則
=lim (1-cos2t)/(6t^2)=lim (sint)^2/3t^2=1/3
所以原極限為e^(1/3)