求函數(shù)f(t)=(1+sint)/(2+cost) 的最值.
解 令k=(1+sint)/(2+cost),則k可看成坐標(biāo)平面XOY內(nèi)過(guò)點(diǎn)A(cost,sint) 及B(-2,-1) 的直線斜率.
由于A在圓 x^2+y^2=1上運(yùn)動(dòng),可見(jiàn),當(dāng)直線BA是圓的切線時(shí),斜率k取得極值.
設(shè)過(guò)B點(diǎn)的切線方程為:y+1=k(x+2) y=kx+2k-1.則
｜2k-1｜=√(1+k^2) .(2k-1)^2=1+k^2.
解得:k1=0,k2=4/3.
故f(t) 的最小值為0,f(t) 的最大值為4/3.
解 設(shè)tan(A/2)=x,則sinA=2x/(1+x^),cosA=(1-x^2)/(1+x^2).
對(duì)f(A)作置換得:令y=f(A)
y=(x^2+2x+1)/(x^2+3)
[y-1]x^2+2x+3y-1=0
因?yàn)閒(A)是實(shí)數(shù),由判別式得:
4-4(y-1)*(3y-1)≥0
3y^2-4y≤0
解此不等式得:0≤y≤4/3.
所以f(A)=(sinA-1)/(cosA-2)的最大值為4/3,最小值為0.