解法一：
因為點z在實軸和虛軸上移動,所以
z=a或z=bi,a,b∈R,
所以z^2∈R,
所以u=（z^2+1）+2i
設x=z^2+1,y=2
則復數u對應的點的坐標為（z^2+1,2）
因此復數u=z^2+1+2i在復平面上的點的軌跡為
y=2,即平行于x軸且與x軸的距離為2的直線.
解法二：
①當點Z在實軸上移動時,
設點Z對應的復數z=a,a∈R,
則u=(a^2+1)+2i,
設x'=a^2+1,y'=2,
則此時復數u=z^2+1+2i在復平面上的點的軌跡方程為
y=2,其軌跡為與x軸平行的且與x軸的距離為2的直線.
②當點Z在虛軸上移動時,
設點Z對應的復數z=bi,b∈R,
則u=(1-b^2)+2i,
設x'=1-b^2,y'=2,
則此時復數u=z^2+1+2i在復平面上的點的軌跡方程為
y=2,其軌跡為與x軸平行的且與x軸的距離為2的直線.
綜上,復數u=z^2+1+2i在復平面上的點的軌跡方程為
y=2,其軌跡為與x軸平行的且與x軸的距離為2的直線