你這道題的分母是不是lim x->0 √(1+xsinx)-cosx啊,是忘了一個(gè)中括號(hào)嗎?
先用等價(jià)無(wú)窮小,x->0時(shí),（e^x-1)等價(jià)于x
原式=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x(e^x-1)
=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x^2
=lim x->0 (1+xsinx-cos^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [1+xsinx-(1-sin^2x)]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 (xsinx+sin^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)sinx]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)x]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0時(shí),sinx等價(jià)于x)
=lim x->0 (x^2+x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 x^2/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0時(shí),x^2+x等價(jià)于x^2)
=lim x->0 1/[√(1+xsinx)+cosx]
=1/2 (將x=0帶入）又是你哈，是少寫了xxsinx+sin^2x怎么等于(x+1)sinx??？提起公因式sinx，啊，不對(duì)，我犯錯(cuò)誤了！應(yīng)該是等于（x＋sinx）sinx，然后用等價(jià)無(wú)窮小，x＋sinx～2x，sinx～x，所以上式＝2x²，所以我的解答過(guò)程當(dāng)中倒數(shù)第二步應(yīng)該lim(x→0)2/[√(1＋xsinx)＋cosx]＝2/2＝1. 哎，這就是粗心的結(jié)果等價(jià)無(wú)窮小不是只能在乘除中用么？為什么x+sinx也能用??？哈哈，我就怕你不問(wèn)這個(gè)問(wèn)題！我等的就是你問(wèn)這個(gè)問(wèn)題！你說(shuō)得對(duì)，加減法運(yùn)算一般是不能用等價(jià)無(wú)窮小的，我寫x＋sinx～2x，并不是因?yàn)閟inx～x，然后x＋sinx～x＋x～2x，其實(shí)不是這樣的！我們知道如果limα/β＝1，那么α就是β的等價(jià)無(wú)窮小，即α～β，那么現(xiàn)在，把x＋sinx看做一個(gè)整體，因?yàn)閘im(x→0)(x＋sinx)/2x＝lim(x→0)(1＋cosx)/2＝1，所以x＋sinx是2x的等價(jià)無(wú)窮小，所以x＋sinx～2x，現(xiàn)在懂了嗎？