這個是狹義相對論,證明如下：
狹義相對論公式及證明
單位 符號 單位 符號
坐標(biāo)： m (x,y,z) 力： N F(f)
時間： s t(T) 質(zhì)量:kg m(M)
位移： m r 動量:kg*m/s p(P)
速度： m/s v(u) 能量: J E
加速度： m/s^2 a 沖量：N*s I
長度： m l(L) 動能：J Ek
路程： m s(S) 勢能：J Ep
角速度： rad/s ω 力矩：N*m M
角加速度:rad/s^2α 功率：W P
一：
牛頓力學(xué)（預(yù)備知識）
(一)：質(zhì)點運動學(xué)基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
(注：兩式中左式為微分形式,右式為積分形式)
當(dāng)v不變時,(1)表示勻速直線運動.
當(dāng)a不變時,(2)表示勻變速直線運動.
只要知道質(zhì)點的運動方程r=r(t),它的一切運動規(guī)律就可知了.
(二)：質(zhì)點動力學(xué)：
(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動.
(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質(zhì)量成反比.
F=ma=mdv/dt=dp/dt
(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上.
(4)萬有引力：兩質(zhì)點間作用力與質(zhì)量乘積成正比,與距離平方成反比.
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)
動量守恒：合外力為零時,系統(tǒng)動量保持不變.
動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)
機械能守恒：只有重力做功時,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(注：牛頓力學(xué)的核心是牛二：F=ma,它是運動學(xué)與動力學(xué)的橋梁,我們的目的是知道物體的運動規(guī)律,即求解運動方程r=r(t),若知受力情況,根據(jù)牛二可得a,再根據(jù)運動學(xué)基本公式求之.同樣,若知運動方程r=r(t),可根據(jù)運動學(xué)基本公式求a,再由牛二可知物體的受力情況.)
二：
狹義相對論力學(xué)：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度.)
(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的.
(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關(guān)的常數(shù).
(此處先給出公式再給出證明)
(二)洛侖茲坐標(biāo)變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺縮效應(yīng)：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)鐘慢效應(yīng)：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效應(yīng)：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
(光源與探測器在一條直線上運動.)
(七)動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm.
(八)相對論力學(xué)基本方程：F=dP/dt
(九)質(zhì)能方程：E=Mc^2
(十)能量動量關(guān)系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
(注：在此用兩種方法證明,一種在三維空間內(nèi)進行,一種在四維時空中證明,實際上他們是等價的.)
三：
三維證明：
(一)由實驗總結(jié)出的公理,無法證明.
(二)洛侖茲變換：
設(shè)(x,y,z,t)所在坐標(biāo)系(A系)靜止,(X,Y,Z,T)所在坐標(biāo)系(B系)速度為u,且沿x軸正向.在A系原點處,x=0,B系中A原點的坐標(biāo)為X=-uT,即X+uT=0.可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內(nèi)的各點位置是等價的,因此k是與u有關(guān)的常數(shù)(廣義相對論中,由于時空彎曲,各點不再等價,因此k不再是常數(shù).)同理,B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知,兩個慣性系等價,除速度反向外,兩式應(yīng)取相同的形式,即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y,z,Y,Z皆與速度無關(guān),可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理,要確定k需用光速不變原理.當(dāng)兩系的原點重合時,由重合點發(fā)出一光信號,則對兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標(biāo)變換：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度變換：
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表達式.
(四)尺縮效應(yīng)：
B系中有一與x軸平行長l的細(xì)桿,則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標(biāo)),則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)鐘慢效應(yīng)：
由坐標(biāo)變換的逆變換可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測量),故△t=γ△T.
(注：與坐標(biāo)系相對靜止的物體的長度、質(zhì)量和時間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時,是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量.)
(六)光的多普勒效應(yīng)：(注：聲音的多普勒效應(yīng)是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原點處一光源發(fā)出光信號,A系原點有一探測器,兩系中分別有兩個鐘,當(dāng)兩系原點重合時,校準(zhǔn)時鐘開始計時.B系中光源頻率為ν(b),波數(shù)為N,B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應(yīng)可知,A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數(shù),故光源發(fā)出的波數(shù)與探測器接收的波數(shù)相同,即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對于動力學(xué)質(zhì)點可選自身為參考系,β=v/c)
牛二在伽利略變換下,保持形勢不變,即無論在那個慣性系內(nèi),牛二都成立,但在洛倫茲變換下,原本簡潔的形式變得亂七八糟,因此有必要對牛頓定律進行修正,要求是在坐標(biāo)變換下仍保持原有的簡潔形式.
牛頓力學(xué)中,v=dr/dt,r在坐標(biāo)變換下形式不變,（舊坐標(biāo)系中為（x,y,z）新坐標(biāo)系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當(dāng)然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了.即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度.牛頓動量為p=mv,將v替換為V,可修正動量,即p=mV=γmv.定義M=γm(相對論質(zhì)量)則p=Mv.這就是相對論力學(xué)的基本量：相對論動量.（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）
(八)相對論力學(xué)基本方程：
由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式,雖與牛二的形式完全一樣,但內(nèi)涵不一樣.（相對論中質(zhì)量是變量）
(九)質(zhì)能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
(十)能量動量關(guān)系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四：
四維證明：
(一)公理,無法證明.
(二)坐標(biāo)變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內(nèi)都成立.定義dS為四維間隔,dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對光信號dS恒等于0,而對于任意兩時空點的dS一般不為0.dS^2〉0稱類空間隔,dS^2<0稱類時間隔,dS^2=0稱類光間隔.相對論原理要求（1）式在坐標(biāo)變換下形式不變,因此（1）式中存在與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量,dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標(biāo)變換下dS是不變量.因此在兩個原理的共同制約下,可得出一個重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量.
由數(shù)學(xué)的旋轉(zhuǎn)變換公式有：（保持y,z軸不動,旋轉(zhuǎn)x和ict軸）
X=xcosφ+(ict)sinφ
icT=-xsinφ+(ict)cosφ
Y=y
Z=z
當(dāng)X=0時,x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ
得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略.
(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ,V=dr/dτ稱四維速度.
則V=(γv,icγ)γv為三維分量,v為三維速度,icγ為第四維分量.（以下同理）
四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)
四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
則f=mdV/dτ=mω
(九)質(zhì)能方程：
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
故四維力與四維速度永遠(yuǎn)“垂直”,（類似于洛倫茲磁場力）
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v為三維矢量,且Fv=dEk/dt(功率表達式))
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2
故E=Mc^2=Ek+mc^2