洛倫茲變換
Lorentztransformation
狹義相對(duì)論中關(guān)于不同慣性系之間物理事件時(shí)空坐標(biāo)變換的基本關(guān)系式.設(shè)兩個(gè)慣性系為S系和S′系,它們相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)軸彼此平行,S′系相對(duì)于S系沿x方向運(yùn)動(dòng),速度為v,且當(dāng)t＝t′＝0時(shí),S′系與S系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合,則事件在這兩個(gè)慣性系的時(shí)空坐標(biāo)之間的洛倫茲變換為x′＝γ（x－vt）,y′＝y(tǒng),z′＝z,t′＝γ（t－vx／c2）,式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c為真空中的光速.不同慣性系中的物理定律必須在洛倫茲變換下保持形式不變.
在相對(duì)論以前,H.A.洛倫茲從存在絕對(duì)靜止以太的觀念出發(fā),考慮物體運(yùn)動(dòng)發(fā)生收縮的物質(zhì)過(guò)程得出洛倫茲變換.在洛倫茲理論中,變換所引入的量?jī)H僅看作是數(shù)學(xué)上的輔助手段,并不包含相對(duì)論的時(shí)空觀.愛因斯坦與洛倫茲不同,以觀察到的事實(shí)為依據(jù),立足于兩條基本原理：相對(duì)性原理和光速不變?cè)?著眼于修改運(yùn)動(dòng)、時(shí)間、空間等基本概念,重新導(dǎo)出洛倫茲變換,并賦予洛倫茲變換嶄新的物理內(nèi)容.在狹義相對(duì)論中,洛倫茲變換是最基本的關(guān)系式,狹義相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)論和時(shí)空性質(zhì),如同時(shí)性的相對(duì)性、長(zhǎng)度收縮、時(shí)間延緩、速度變換公式、相對(duì)論多普勒效應(yīng)等都可以從洛倫茲變換中直接得出.
伽利略變換的完美證明
摘要：
愛因斯坦在創(chuàng)立相對(duì)論之初,對(duì)牛頓力學(xué)中使用伽利略變換研究慣性系理論提出了質(zhì)疑,理由是：伽利略變換中默認(rèn)了兩慣性系采用相同的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)即t’ =t,如果沒有這個(gè)默認(rèn),就會(huì)有t’≠t,于是愛因斯坦提出并證明了另一個(gè)變換即洛侖茲變換,作為否定和替代伽利略變換的唯一正確的變換.愛因斯坦對(duì)牛頓力學(xué)的指責(zé)一直成為牛頓力學(xué)的隱痛,成為人們懷疑牛頓理論的出發(fā)點(diǎn),也成為相對(duì)論的立足點(diǎn).本文證明了滿足慣性系平權(quán)原理的變換只有伽利略變換,在伽利略變換中,t’=t可以被證明,從而消除了蒙在牛頓力學(xué)上的陰影.
愛因斯坦用其光速不變假設(shè)證明了洛侖茲變換,并得到了一個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論即“光速是最大速度”,這一錯(cuò)誤結(jié)論深刻地印在了接觸和學(xué)習(xí)相對(duì)論的人們的意識(shí)里.人們普遍認(rèn)為在相對(duì)論里或在物理學(xué)里,討論大于光速c的速度是沒有意義的,一些認(rèn)識(shí)到相對(duì)論是一個(gè)荒謬?yán)碚摰娜艘部偸窃噲D尋找一種超光速運(yùn)動(dòng)粒子以期得到相對(duì)論的反證據(jù),這些錯(cuò)誤觀念都是對(duì)洛侖茲變換及相對(duì)論盲目接受而造成的.我在《洛侖茲變換的困難》一文中論證了洛侖茲變換中的速度可以大于光速以至于無(wú)窮大,洛侖茲變換與伽利略變換的區(qū)別不在于它們所使用的速度的有限與無(wú)限,而在于粒子在一個(gè)慣性系中的速度趨于無(wú)限時(shí),它在另一個(gè)慣性系中的速度有限還是無(wú)限.如果粒子在一個(gè)慣性系中的速度趨于無(wú)窮大,而在另一個(gè)慣性系中的速度趨于一有限值,就得到洛侖茲變換,顯然這一條件違反慣性系平權(quán)原理.如果粒子在一個(gè)慣性系中的速度趨于無(wú)窮大,而在另一個(gè)慣性系中的速度也趨于無(wú)窮大,就得到伽利略變換,下面使用這一極限條件給出伽利略變換的嚴(yán)格證明.
設(shè)慣性系K’(x’,y’,z’,t’)沿慣性系K(x,y,z,t)的x軸正向以速度U=(u,0,0)勻速運(yùn)動(dòng),自慣性系K到慣性系K’的正交線性變換為A=(aij) (i,j=1,2,3,4),即
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A ①
令R=(x,y,z),R’=(x’,y’,z’),A11=(aij) (i,j=1,2,3),A12=(ai4) (i=1,2,3),A21=(a4j) (j=1,2,3),A22=(a44), 則由K到K’的線性變換可改寫為
R’=RA11+tA21,t’=RA12+ta44 ②
于是
dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21)/((dR/dt)A12+a44)
令dR/dt=V,dR’/dt’=V’,則V、V’分別表示運(yùn)動(dòng)粒子在K與K’系中的速度,上式可改寫為
V’=(VA11+A21)/(VA12+a44) ③
滿足上述速度變換的初始條件有（1）洛侖茲變換與伽利略變換的公共條件：“V’=0,V=U”與“V=0,V’=–U”；（2）滿足伽利略變換的極限條件：|V|→∞時(shí),|V’|→∞.
將條件（2）代入,并令V/|V|=V0得
|V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞)
上式成立,必有A12’=0=(0,0,0) [注1],于是③式變?yōu)?
V’=VA11/a44+A21/a44 ④
再將條件（1）代入④式,得
UA11/a44+A21/a44=0,A21/a44=–U
由此得
A21=–UA11,A21 =–Ua44
由于U=(u,0,0),代入上式便得a12=a13=a42=a43=0,a41=–a11u, a44=a11,再由A12’=(0,0,0)得a14=a24=a34=0,代入④式,并令V=(vx,vy,vz),V’=(vx’,vy’,vz’),便得
(vx’,vy’,vz’)=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz,a22vy +a32vz,a23vy +a33vz)/a11 ⑤
由于對(duì)于vx’=0的點(diǎn),vx =u,代入便得a21=a31=0；對(duì)于vy =0的點(diǎn),vy’ =0,代入便得a32=0；對(duì)于vz =0的點(diǎn),vz’ =0,代入便得a23=0,于是有
a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0,a41=–a11u,a44=a11
將上述條件代入①式得
(x’,y’,z’,t’)=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut),a22y,a33z,a11t) ⑥
又當(dāng)t=0時(shí),K與K’兩慣性系重合,故當(dāng)t=0時(shí),有x’=x,y’=y,z’=z [注2] ,代入⑥式便得a11=a22=a33=1,這樣就得到了伽利略變換為
(x’,y’,z’,t’)=( x–ut,y,z,t) 證畢.
[注1] A12’表示A12的轉(zhuǎn)置.
[注2]顯然這一條件是相對(duì)論所不容許的,但其合理性是不容置疑的.如果在式⑥中直接代入洛侖茲變換證明中的假定a22=a33=1,或根據(jù)洛侖茲變換證明中使用的慣性系平權(quán)原理：自K’系到K系的線性變換為A(-U),且A(U)A(-U)=E,亦能得到a11=a22=a33=1,從而得到伽利略變換,恕不贅述.