分析：
(1).依題有a^2/c=sqrt(1/3),e=c/a=sqrt(3)
得a=1,c=sqrt(3),b=sqrt(2)
雙曲線方程為 x^2-y^2/2=1.(1)
(2).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易見該問題中切線斜率存在
對(duì)方程 x^2+y^2=2兩邊求導(dǎo)有
2x+2yy'=0,得點(diǎn)P(xo,yo)處切線斜率
k=y'=-xo/yo
注意到P在圓上有 xo^2+yo^2=2
切線方程可寫為:y=(-xo/yo)(x-xo)+yo
即:yoy=-xox+(xo^2+yo^2)
亦即:yoy=-xox+2.(2)
聯(lián)立(1),(2)消去y整理有:
(2yo^2-xo^2)x^2+4xox-2yo^2-4=0
韋達(dá)定理有:
x1+x2=4xo/(xo^2-2yo^2).(3)
x1x2=(2yo^2+4)/(xo^2-2yo^2).(4)
又yo^2y1y2=(2-xox1)(2-xox2)
=4-2xo(x1+x2)+xo^2x1x2
則yo^2(x1x2+y1y2)=4-2xo(x1+x2)+(xo^2+yo^2)x1x2
=4-2xo(x1+x2)+2x1x2.(5)
將(3)(4)代入(5)整理有:
yo^2(x1x2+y1y2)=4[2-(xo^2+yo^2)]/(xo^2-2yo^2)=0
又yo!=0,則有x1x2+y1y2=0
可見OA垂直O(jiān)B
因此,角AOB=Pi/2（定值）
（注:這樣的問題可以試先取特殊值探索,比如本問題中可以取切線斜率為零,不難發(fā)現(xiàn)角AOB為pi/2,然后有針對(duì)性地去證明x1x2+y1y2=0就把問題解決了）