f(x)＝3x²＋1(－π≤x＜π)為偶函數(shù),應(yīng)進(jìn)行傅里葉余弦展開
設(shè)f(x)＝a0＋∑ancosnx,其中
a0＝1/π∫f(ξ)dξ （積分限：0到π）
＝1/π∫(3ξ²＋1)dξ＝1/π(π³＋π－0－0)＝π²＋1
an＝2/π∫f(ξ)cosnξdξ （積分限：0到π）
＝2/π∫(3ξ²＋1)cosnξdξ＝6/π∫ξ²cosnξdξ＋2/π∫cosnξdξ＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)＋2/(nπ)(sinnπ－sin0)＝6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ＝ζ,則
an＝6/(n³π)∫ζ²cosζdζ （積分限：0到nπ）
＝6/(n³π)∫ζ²dsinζ＝6/(n³π)(ζ²sinζ－∫sinζdζ²)＝6/(n³π)[(nπ)²sinnπ－0－2∫ζsinζdζ]＝－12/(n³π)∫ζsinζdζ＝12/(n³π)∫ζdcosζ＝12/(n³π)(ζcosζ－∫cosζdζ)＝12/(n³π)(ζcosζ－sinζ)＝12/(n³π)(nπcosnπ－sinnπ－0＋sin0)＝12/n²·cosnπ
∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cosnπ＝1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cosnπ＝－1
∴an＝12(－1)^n/n²
∴f(x)＝π²＋1＋∑12(－1)^n/n²·cosnx(－π≤x＜π)