已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f(1)＝?2/3．（1）求證：f（x）為減函數(shù)；（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f(1)＝?

．
（1）求證：f（x）為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

數(shù)學(xué)人氣：712 ℃時(shí)間：2020-06-20 22:24:18

優(yōu)質(zhì)解答

（1）設(shè)在R上任意取兩個(gè)數(shù)m，n且m＞n
則f（m）-f（n）=f（m-n）
∵m＞n∴m-n＞0
而x＞0時(shí)，f（x）＜0則f（m-n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）為減函數(shù)；
（2）由（1）可知f（x）_max=f（-3），f（x）_min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0
∴f（0）=0
令y=-x得f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2，則f（-3）=2
∴f（x）_max=f（-3）=2，f（x）_min=f（3）=-2．

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