（1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問(wèn)題.1874年,康托猜測(cè)在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒(méi)有別的基數(shù),即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè).1938年,僑居美國(guó)的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德?tīng)栕C明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合論公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.1963年,美國(guó)數(shù)學(xué)家科思（P.Choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF公理彼此獨(dú)立.因而,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用ZF公理加以證明.在這個(gè)意義下,問(wèn)題已獲解決.（2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.歐氏幾何的無(wú)矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無(wú)矛盾性.希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明,哥德?tīng)?931年發(fā)表不完備性定理作出否定.根茨（G.Gentaen,1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性.（3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個(gè)四面體有相等之體積是不可能的.問(wèn)題的意思是：存在兩個(gè)登高等底的四面體,它們不可能分解為有限個(gè)小四面體,使這兩組四面體彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解決.（4）兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問(wèn)題.此問(wèn)題提的一般.滿(mǎn)足此性質(zhì)的幾何很多,因而需要加以某些限制條件.1973年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Pogleov）宣布,在對(duì)稱(chēng)距離情況下,問(wèn)題獲解決.（5）拓?fù)鋵W(xué)成為李群的條件（拓?fù)淙海?這一個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)稱(chēng)連續(xù)群的解析性,即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群.1952年,由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決.1953年,日本的山邁英彥已得到完全肯定的結(jié)果.（6）對(duì)數(shù)學(xué)起重要作用的物理學(xué)的公理化.1933年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸驅(qū)⒏怕收摴砘?后來(lái),在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論方面取得成功.但對(duì)物理學(xué)各個(gè)分支能否全盤(pán)公理化,很多人有懷疑.（7）某些數(shù)的超越性的證明.需證：如果α是代數(shù)數(shù),β是無(wú)理數(shù)的代數(shù)數(shù),那么αβ一定是超越數(shù)或至少是無(wú)理數(shù)（例如,2√2和eπ）.蘇聯(lián)的蓋爾封特（Gelfond）1929年、德國(guó)的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨(dú)立地證明了其正確性.但超越數(shù)理論還遠(yuǎn)未完成.目前,確定所給的數(shù)是否超越數(shù),尚無(wú)統(tǒng)一的方法.（8）素?cái)?shù)分布問(wèn)題,尤其對(duì)黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問(wèn)題.素?cái)?shù)是一個(gè)很古老的研究領(lǐng)域.希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素?cái)?shù)問(wèn)題.黎曼猜想至今未解決.哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)問(wèn)題目前也未最終解決,其最佳結(jié)果均屬中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn).（9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明.1921年由日本的高木貞治,1927年由德國(guó)的阿廷（E.Artin）各自給以基本解決.而類(lèi)域理論至今還在發(fā)展之中.（10）能否通過(guò)有限步驟來(lái)判定不定方程是否存在有理整數(shù)解?求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根,稱(chēng)為丟番圖（約210-290,古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解.1950年前后,美國(guó)數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破.1970年,巴克爾（Baker）、費(fèi)羅斯（Philos）對(duì)含兩個(gè)未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論.1970年.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的.盡管得出了否定的結(jié)果,卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品,其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切聯(lián)系.（11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論.德國(guó)數(shù)學(xué)家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果.60年代,法國(guó)數(shù)學(xué)家魏依（A.Weil）取得了新進(jìn)展.（12）類(lèi)域的構(gòu)成問(wèn)題.即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去.此問(wèn)題僅有一些零星結(jié)果,離徹底解決還很遠(yuǎn).（13）一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性.七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴(lài)于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c).這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來(lái)?此問(wèn)題已接近解決.1957年,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在〔0,1〕上連續(xù)的實(shí)函數(shù)f(x1,x2,x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù).柯?tīng)柲缏宸蜃C明f(x1,x2,x3)可寫(xiě)成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)這里hi和ξi為連續(xù)實(shí)函數(shù),ξij的選取可與f完全無(wú)關(guān).1964年,維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形,對(duì)解析函數(shù)情形則未解決.（14）某些完備函數(shù)系的有限的證明.即域K上的以x1,x2,…,xn為自變量的多項(xiàng)式fi（i=1,…,m）,R為K〔X1,…,Xm]上的有理函數(shù)F（X1,…,Xm）構(gòu)成的環(huán),并且F（f1,…,fm）∈K[x1,…,xm]試問(wèn)R是否可由有限個(gè)元素F1,…,FN的多項(xiàng)式生成?這個(gè)與代數(shù)不變量問(wèn)題有關(guān)的問(wèn)題,日本數(shù)學(xué)家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決.（15）舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ).一個(gè)典型的問(wèn)題是：在三維空間中有四條直線,問(wèn)有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個(gè)直觀的解法.希爾伯特要求將問(wèn)題一般化,并給以嚴(yán)格基礎(chǔ).現(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法,它和代數(shù)幾何學(xué)有密切的關(guān)系.但嚴(yán)格的基礎(chǔ)至今仍未建立.（16）代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)溲芯?此問(wèn)題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目.后半部要求討論備dx/dy=Y/X的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)N（n）和相對(duì)位置,其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式.對(duì)n=2（即二次系統(tǒng)）的情況,1934年福羅獻(xiàn)爾得到N(2)≥1；1952年鮑廷得到N(2)≥3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,這個(gè)曾震動(dòng)一時(shí)的結(jié)果,由于其中的若干引理被否定而成疑問(wèn).關(guān)于相對(duì)位置,中國(guó)數(shù)學(xué)家董金柱、葉彥謙1957年證明了（E2）不超過(guò)兩串.1957年,中國(guó)數(shù)學(xué)家秦元?jiǎng)缀推迅唤鹁唧w給出了n＝2的方程具有至少3個(gè)成串極限環(huán)的實(shí)例.1978年,中國(guó)的史松齡在秦元?jiǎng)住⑷A羅庚的指導(dǎo)下,與王明淑分別舉出至少有4個(gè)極限環(huán)的具體例子.1983年,秦元?jiǎng)走M(jìn)一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個(gè)極限環(huán),并且是（1,3）結(jié)構(gòu),從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,并為研究希爾伯特第（16）問(wèn)題提供了新的途徑.（17）半正定形式的平方和表示.實(shí)系數(shù)有理函數(shù)f(x1,…,xn)對(duì)任意數(shù)組（x1,…,xn）都恒大于或等于0,確定f是否都能寫(xiě)成有理函數(shù)的平方和?1927年阿廷已肯定地解決.（18）用全等多面體構(gòu)造空間.德國(guó)數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年,萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決.（19）正則變分問(wèn)題的解是否總是解析函數(shù)?德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（Bernrtein,1929）和蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家彼德羅夫斯基（1939）已解決.（20）研究一般邊值問(wèn)題.此問(wèn)題進(jìn)展迅速,己成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支.日前還在繼讀發(fā)展.（21）具有給定奇點(diǎn)和單值群的Fuchs類(lèi)的線性微分方程解的存在性證明.此問(wèn)題屬線性常微分方程的大范圍理論.希爾伯特本人于1905年、勒爾（H.Rohrl）于1957年分別得出重要結(jié)果.1970年法國(guó)數(shù)學(xué)家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻(xiàn).（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化.此問(wèn)題涉及艱深的黎曼曲面理論,1907年克伯（P.Koebe）對(duì)一個(gè)變量情形已解決而使問(wèn)題的研究獲重要突破.其它方面尚未解決.（23）發(fā)展變分學(xué)方法的研究.這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題.20世紀(jì)變分法有了很大發(fā)展.
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