在l:X+Y-4=0上任意一點M,過M并且以橢圓X2/16+Y2/12=1的焦點為焦點作橢圓,問M,在和處時,橢圓長軸最短?并求此橢圓方程.
x^2/16+y^2/12=1
a^2=16,b^2=12,c=2
在l:X+Y-4=0上任意一點M
xM=n,yM=4-n
M(n,4-n)
過M(n,4-n)并且以橢圓x^2/16+y^2/12=1的焦點為焦點作橢圓
c=2,b^2=a^2-c^2=a^2-4>0
n^2/a^2+(4-n)^2/(a^2-4)=1
(a^2-4)*n^2+a^2*(4-n)^2=a^2*(a^2-4)
(2a^2-4)n^2-8a^2*n+20a^2-a^4=0
未知數(shù)為n的上方程有實數(shù)解,則它的判別式△≥0,即
(-8a^2)^2-4*(2a^2-4)*(20a^2-a^4)≥0
2a^6-28a^4+80a^2≥0
2a^2*(a^2-4)*(a^2-10)≥0
2a^2>0,b^2=a^2-4>0
∴a^2≥10
a^2最小=10,b^2=a^2-4=6
橢圓長軸最短a=√10
這種解發(fā)計算量太大了,
這種解發(fā)計算量太大了，