lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)
=lim(x->1+) (ln x) / [1/ln(x-1)]
顯然在x->1+時,ln x ->0,而ln(x-1)趨于-∞,故[1/ln(x-1)]趨于0,
對分子分母同時求導(dǎo),得到
原極限
=lim(x->1+) (1/x) / [-1/ (x-1)*ln²(x-1)]
=lim(x->1+) ln²(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趨于無窮,同時求導(dǎo)得到
=lim(x->1+) [2ln(x-1) /(x-1)] / [-1/(x-1)²]
=lim(x->1+) -2ln(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趨于無窮,同時求導(dǎo)得到
=lim(x->1+) [-2/(x-1)] / [-1/(x-1)²]
=lim(x->1+) 2(x-1)
=0
這樣做很顯然麻煩了一些
用等價無窮小來做要簡單很多,
lim(x->1+) (ln x) * ln(x-1)
=lim(x->1+) ln(1+x-1) * ln(x-1)
顯然在x->1+時,x-1->0+,
故ln(1+x-1)與x-1是等價無窮小
所以
原極限
=lim(x->1+) (x-1) * ln(x-1)
=lim(x->1+) ln(x-1) / [1/(x-1)] 分子分母都趨于無窮,同時求導(dǎo)得到
=lim(x->1+) 1/(x-1) / [-1/(x-1)² ]
=lim(x->1+) -(x-1)
=0