不一定.
例如A = [1,0;0,2],B = [0,1;1,0].
A,B均可對(duì)角化,特征值分別為1,2和±1.
AB = [0,1;2,0],可對(duì)角化,但特征值為±√2.AB = BA這個(gè)條件在你說(shuō)的這個(gè)證明中是很重要的, 因?yàn)槠渲杏玫浇Y(jié)論:如果A, B均可對(duì)角化, AB = BA, 則A, B可同時(shí)對(duì)角化.即存在可逆矩陣T, 使T^(-1)AT與T^(-1)BT均為對(duì)角陣.作為對(duì)角陣, 容易知道T^(-1)ABT的特征值等于T^(-1)AT與T^(-1)BT特征值之積.即AB的特征值等于A, B特征值的乘積.值得一提的是, 如果A, B為正定陣(默認(rèn)正定陣對(duì)稱),但AB ≠ BA, 則AB不是對(duì)稱陣, 但是仍然可以證明AB的特征值均為正實(shí)數(shù).因?yàn)橛葾正定, 存在C正定(故可逆)使得A = C^2.于是AB = C^2B相似于C^(-1)(C^2B)C = CBC.但由B正定, 易見(jiàn)CBC是正定, 故特征值均為正實(shí)數(shù).注意: 存在T使A, B同時(shí)對(duì)角化, 并非任意使A對(duì)角化的可逆矩陣T都使B對(duì)角化.如A = [1,0,0;0,1,0;0,0,2], B = [2,0,0;0,1,0;0,0,1].(1) 先證一個(gè)引理: 設(shè)A是V上的線性變換, W是A-不變子空間,若A在V上可對(duì)角化, 則A在W上的限制也可對(duì)角化.設(shè)A的不同特征值為λ1,..., λs, 相應(yīng)的特征子空間分別為V1,..., Vs.由A可對(duì)角化, 有V = V1+...+Vs.設(shè)Wi = W∩Vi, i = 1,..., s.由Wi ⊆ W對(duì)任意i成立, 有W1+...+Ws ⊆ W.另一方面, 由V = V1+...+Vs, 對(duì)任意v ∈ W ⊆ V,存在vi ∈ Vi, i = 1,..., s, 使v = v1+...+vs.取f(x) = (x-λ2)...(x-λs)/((λ1-λ2)...(λ1-λs)).由W是A-不變子空間, 可知W也是f(A)-不變子空間, 于是f(A)v ∈ W.而可算得f(A)v = v1, 故v1 ∈ W, 即有v1 ∈ W∩V1 = W1.類似可得vi ∈ Wi, i = 1,..., s.故v = v1+...+vs ∈ W1+...+Ws, 有W ⊆ W1+...+Ws.因此W = W1+...+Ws.上式就說(shuō)明W可分解為A在W上的限制的特征子空間的和,即A在W上的限制可對(duì)角化.(2) 用引理證明: 若A, B是V上可對(duì)角化的線性變換, 且AB = BA,則存在V的一組基, 使A, B在其下的矩陣同為對(duì)角陣.斷言: A的任意一個(gè)特征子空間Vi, 都是B的不變子空間.對(duì)任意x ∈ Vi, 由特征子空間的定義有Ax = λi·x.而AB = BA, 故ABx = BAx = λi·Bx, 即Bx也是屬于特征值λi的特征向量(或零向量).于是Bx ∈ Vi, 即Vi是B-不變子空間.B在V上可對(duì)角化, 由引理知B在Vi上的限制也可對(duì)角化.即存在B的特征向量構(gòu)成Vi的一組基.而Vi是A的特征子空間, 所以上面這組基同時(shí)是A和B的特征向量.再由A在V上可對(duì)角化, 各個(gè)Vi的基合在一起構(gòu)成V的一組基,即存在V的一組基, 同時(shí)是A和B的特征向量, 在這組基下A, B同時(shí)對(duì)角化.有疑問(wèn)歡迎追問(wèn).不用謝.我是數(shù)學(xué)專業(yè).