A,B為正定矩陣,證：AB的特征值全部大于零.

數(shù)學人氣：159 ℃時間：2019-10-26 05:54:34

優(yōu)質(zhì)解答

首先說一下,PT這里表示P矩陣的轉(zhuǎn)置,P-1表示P矩陣的逆矩陣
這里利用 “ 實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件為：存在可逆矩陣P,使得
A=PTP ” 來證明
已知A,B均正定,則存在可逆矩陣P,Q使得
A = PTP
B = QTQ
Q(AB)Q-1 = Q(PTP)(QTQ)Q-1=QPTPQT = (PQT)T(PQT)
P,Q均可逆,所以PQT也為可逆矩陣,
再次利用開始的充要條件,Q(AB)Q-1為正定矩陣,所有特征值大于零
又因為Q為可逆矩陣所以 AB 與矩陣 Q(AB)Q-1 相似,所以AB特征值全大于零
OK,證明完畢,