樓主我想問一下,n∈N＊是指n為整數(shù)嗎?反正我是按照n取整數(shù)解的
二次函數(shù)f(x)=x^+x的對(duì)稱軸為x=-1/2,其頂點(diǎn)為(-1/2,-1/4)
可判斷出f(x)的單調(diào)性為：
當(dāng)x∈(-∞,-1/2)時(shí),f(x)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù)
可求出
f(n)=n^+n
f(n+1)=(n+1)^+n+1=n^+3n+2
由于n為整數(shù),故,f(n)與f(n+1)也必為整數(shù)
當(dāng)n∈(-∞,-2]時(shí),n+1≤-1,由f(x)的單調(diào)性可以判斷出,區(qū)間[n,n+1]位于拋物線的遞減區(qū)域,即(-∞,-1/2）內(nèi),故f(x)在x=n處取得最大值f(n),在x=n+1處取得最小值f(n+1),由f(x)連續(xù)性可知其在[n,n+1]區(qū)間上的值域是[f(n+1),f(n)],這意味著f(x)可以取到f(n+1)到f(n)之間的任意一個(gè)值（當(dāng)然也包含這個(gè)范圍內(nèi)的任何一個(gè)整數(shù)值）；因此,f(x)所能取到的整數(shù)值個(gè)數(shù)就等于[f(n+1),f(n)]這個(gè)范圍內(nèi)所包含的整數(shù)個(gè)數(shù)；由于f(n)與f(n+1)都是整數(shù),這個(gè)閉區(qū)間內(nèi)所包含的整數(shù)個(gè)數(shù)為[f(n)-f(n+1)+1],代入f(n)=n^+n,
f(n+1)=n^+3n+2,可得到這個(gè)數(shù)量為-2n-1
所以,此種情況下,f(x)在[n,n+1]上所能取到的整數(shù)值個(gè)數(shù)g(n)=-2n-1
于是有：n∈(-∞,-2]時(shí),g(n)=-2n-1 這個(gè)g(n)的分段表達(dá)式成立；
當(dāng)n∈[0,+∞)時(shí),n≥0,由f(x)單調(diào)性可以判斷出,區(qū)間[n,n+1]必然位于拋物線的遞增區(qū)域,即（-1/2,+∞）,f(x)的最大值在x=n+1處取得,為f(n+1),最小值在x=n處取得,為f(n),從而,f(x)的值域是[f(n),f(n+1)],f(x)在區(qū)間[n,n+1]上可以取到這個(gè)值域內(nèi)的所有值；于是,這個(gè)值域內(nèi)的整數(shù)個(gè)數(shù)g(n),可以求出是[f(n+1)-f(n)+1]（因?yàn)閒(n)與f(n+1)都是整數(shù)值）=2n+3
于是可得出函數(shù)g(n)在自變量n∈[-1,+∞）時(shí)的解析式為：
g(n)=2n+3
最后只剩下一個(gè)n=-1的情況沒有包含在上述兩種情況中：
當(dāng)n=-1時(shí),顯然此時(shí)的[n,n+1]區(qū)間就是[-1,0]區(qū)間,f(x)的對(duì)稱軸x=-1/2恰好位于其內(nèi),f(x)在[-1,0]上的最小值顯然是頂點(diǎn)值-1/4,而在f(-1)=f(0)=0處,同時(shí)取得最大值,也就是說,f(x)此時(shí)在[n,n+1]上的值域?yàn)閇-1/4,0],此時(shí)f(x)的值域內(nèi)只包含0這個(gè)整數(shù)點(diǎn),于是,此時(shí)f(x)的整數(shù)值個(gè)數(shù)g(n)為1
綜上所述,可知,當(dāng)n∈整數(shù)時(shí),g(n)的解析式為：
g(n)=/ -2n-1 , n∈(-∞,-2];
| 1 , n=-1 ;
\ 2n+3, n∈[0,+∞)