這種結(jié)論顯然是錯的,即使是實對稱矩陣也不可能有如此強(qiáng)的結(jié)論,況且你的敘述也很不清晰,完全沒有講清楚所謂的“變”是何種變換.
如果你不相信的話先給你一個反例
Hss=[1,2; 2,3], Hsp=[3,4], Hpp=6, Hpd=Hdd=0
如果把Hsp變成[0,5]而別的塊不變,特征值肯定不同.
我猜測你試圖從正交變換中總結(jié)一些性質(zhì).只能說Frobenius范數(shù)是酉不變范數(shù),但是如果沒有更多條件的話不要認(rèn)為Frobenius范數(shù)是Hermite矩陣在酉變換下的全系不變量.
補(bǔ)充：
這次雖然你增加了很強(qiáng)的條件,但仍不足以推出結(jié)論,再給你個例子
N=1, Hss=1, Hpp=diag{2,2,2}, Hdd=diag{3,3,3,3,3}, Hsp=[1;0;0]
這些不變,而
Hpd=[0,0,0; 0,0,3; 0,4,0; 0,0,0; 0,0,0]
和
Hpd=[0,0,0; 0,0,5; 0,0,0; 0,0,0; 0,0,0]
得到的特征值不同.
你之所以產(chǎn)生這種猜測,跟你給的矩陣結(jié)構(gòu)有一定關(guān)系.
A=diag{c_1*I_{k_1}, c_2*I_{k_2}, ..., c_n*I_{k_n}} + L + L'
這里L(fēng)是相應(yīng)的下三角塊.
如果作用一個與之結(jié)構(gòu)匹配的分塊對角酉變換
Q=diag{Q_1, Q_2, ..., Q_n}
自然就有Q'AQ和A的特征值相同,并且Q'AQ的對角塊和A相同.我也提過了,Frobenius范數(shù)是酉不變范數(shù),L當(dāng)中的每一塊在此變換下變成Q_k'*L_k*Q_{k-1},所以其F-范數(shù)不變.
但是絕對不可能反過來說如果L中相應(yīng)的塊F-范數(shù)不變就一定保持特征值不變,完全沒希望的.