首先 實對稱陣 相似于對角陣 且特征值為實數(shù)
只需證明（1）次對角元全非0時 所有特征值2,2不同就行了
這是因為我們可以把原矩陣分塊成 一個對角陣和一個實對稱三對角矩陣（設(shè)階數(shù)分別為 s,t ） 使得這個子陣的的次對角元都是0 則 若（1）成立 則 這個子陣的的對角元2,2不同 因為s階對角陣最多有s重根 所以合起來最多有s+1重根（注意到 s恰是 次對角元中0的個數(shù)）
下面證明（1）
記此陣為 A 對角元為 a1,a2,...an 次對角元為 b1,b2...b(n-1) (bi 均非0)則
若x為一個A的特征值 欲證特征子空間維數(shù)維1
則因為A-xI 仍為 實對稱三對角矩陣 且次對角元不變
所以我們只需在x=0時證明就行了
設(shè) x1,x2,...xn為0的特征向量
則 a1x1+b1x2=0 b1x1+a2x2+b2x3=0...
則 x2=-a1/b1*x1 x3=-1/b2(b1x1+a2x2)...
所以 （x1,x2...xn）由x1唯一決定 所以維數(shù)是1 得證