（1）證明：∵△BCF和△ACE是等邊三角形，
∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，
∴∠ECA-∠FCA=∠BCF-∠FCA，
即∠ACB=∠ECF，
∵在△ACB和△ECF中

AC＝CE ∠ACB＝∠ECF BC＝CF

，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB，
∵三角形ABD是等邊三角形，
∴AB=AD，
∴EF=AD=AB，
同理FD=AE=AC，
即EF=AD，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
（2）當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，平行四邊形AEFD是菱形，理由如下：
∵由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形，EF=AD=AB，F(xiàn)D=AE=AC
∴AB=AC，
∴EF=FD，
∴平行四邊形AEFD是菱形，
故答案為：等腰．
（3）當(dāng)∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形AEFD是矩形，理由如下：
∵△ADB和△ACE是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形，
∴平行四邊形AEFD是矩形，
故答案為：150°．
（4）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，以A、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形不存在，理由如下：
∵∠DAB=∠EAC=60°（已證），∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，
∴D、A、E三點(diǎn)共線，
即邊DA、AE在一條直線上，
∴當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，以A、E、F、D為頂點(diǎn)的四邊形不存在，
故答案為：60°．