∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，（①正確）
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，（②正確）
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等邊三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，（③正確）
過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵CD=CE，∠CND=∠CMA=90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM=CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC=∠EOC，
∴④正確；
故答案為：①②③④．