這兩種證明方法都沒有循環(huán)論證的問題.兩種證明方法中,我們用到的性質(zhì)都是2的正數(shù)次冪大于1,這個(gè)性質(zhì)并不是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)推論,而是可以從指數(shù)的定義中直接得出來的.問題在于,高中階段根本無法解釋像2的根號2次方怎么定義的問題,所以才不能直接證明這個(gè)性質(zhì).因?yàn)橛欣頂?shù)次冪是有定義的,所以下面可以給出一個(gè)證明2的正有理數(shù)次冪大于1的證明：
1、2的正整數(shù)次冪大于1.這個(gè)可以用歸納法來證明.n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,從而對正整數(shù),命題成立.
2、小于1的正數(shù)的正整數(shù)次冪小于1.這個(gè)也可以用歸納證明.
3、2的正有理數(shù)次冪大于1.這個(gè)可以用反證法證明.（1）2的正有理數(shù)次冪大于0.（這個(gè)看起來顯然,不過還是需要證明的）.（2）假若,存在2的某正有理數(shù)次冪小于1,則其為小于1的正數(shù),從而它的任意次冪均小于1,而有理數(shù)在乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)之后就是正數(shù),所以,這個(gè)數(shù)的某次方肯定是2的正整數(shù)次方,而這樣一來,就會有2的正整數(shù)次方小于1的情況出現(xiàn).這是和第1點(diǎn)矛盾的.所以,可以知道2的正有理數(shù)次方都是大于1的.命題推廣到無理數(shù),那不是我能夠說給你懂的啦.
可見,你給出的兩種證明單調(diào)性的方法都沒有循環(huán)論證的問題.