對(duì)a^x,a > 0,討論它的單調(diào)性就不能不先說明它的確切定義.
指數(shù)函數(shù)是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間上的.我們先說在整數(shù)上的定義：
a^n = a * a * ...* a （n > 0,下同）（n個(gè)a相乘）
a^0 = 1
a^(-n) = 1 / a^n
再說有理數(shù)集上的定義：
a^(1 / n) = a的n次算術(shù)根,
a^(p / q) = (a^p)的q次算術(shù)根,其中p / q是既約分?jǐn)?shù).
這樣一來,有理數(shù)集上的指數(shù)函數(shù)就定義好了.并且用初等的方法不難證明在有理數(shù)集上a^(p / q)的單調(diào)性.事實(shí)上,對(duì)a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2),可以把分?jǐn)?shù)p1 / q1和p2 / q2通分,這樣分母相同,設(shè)分別是p1' / q,p2' / q.現(xiàn)在就是在比以a^(1 / q)為底,以p1'和p2'為指數(shù)的兩個(gè)數(shù)大小.顯然當(dāng)a > 1時(shí),a^(1 / q) > 1,從而可知函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)增的；反之,a < 1時(shí),也能證出函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)減的.
現(xiàn)在對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,可以取一個(gè)有理數(shù)列{Qn},當(dāng)n無限增大時(shí)它單調(diào)趨于x,那么就可以把a(bǔ)^x定義為a^Qn當(dāng)n無限增大時(shí)的極限.
我們用有理數(shù)列來逼近指數(shù)函數(shù),那么對(duì)相差任意接近的兩個(gè)實(shí)數(shù)就可以取兩個(gè)足夠精確的有理數(shù)來代替它們,并且保持大小關(guān)系不變.（當(dāng)然,這其中還有一些運(yùn)算保證,比如說,前面那個(gè)定義為什么是合理的,即為什么極限存在等等,我就不寫了.）這樣一來,實(shí)數(shù)下指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以化歸為有理數(shù)下的單調(diào)性,并與之相同.