此題用初等微積分甚易解,但不知提問者是何種水平,能否接受.
試解如下：
√x+√y≤k√(2x+y),因x,y是任意的正實(shí)數(shù)恒成立,故可引入一參量t,t亦為任意的正實(shí)數(shù),且t=y/x,則上式化為：1+√t≤k√(2+t),令√t=a,a亦為任意的正實(shí)數(shù),則k≥(a^2+2a+1)/(a^2+2),令f(a)=(a^2+2a+1)/(a^2+2),df(a)/da=1/a
亦即,函數(shù)f(a)=(a^2+2a+1)/(a^2+2)在a≥0區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.故當(dāng)a→+∞時(shí),
f(a)趨近于最大值.a→+∞,limf(a)=1（數(shù)學(xué)符號(hào)打印得不標(biāo)準(zhǔn),讀者可以意會(huì).）最終答案是k≥1