對稱矩陣的含義是A與其轉(zhuǎn)置矩陣A'相等:A=A'
反對稱矩陣的含義是A與其轉(zhuǎn)置矩陣相加為0,即A=-A'
關(guān)于矩陣的轉(zhuǎn)置有脫衣原則即:(AB)'=B'A',(A+B)'=A'+B'
我們就用定義,和第三條來證明本題
AB-BA的轉(zhuǎn)置:(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'[以上為脫衣原則得到的]=(-BA)-(A(-B))[以上是由A和B的對稱反對稱性定義決定的]=AB-BA
因此AB-BA的轉(zhuǎn)置正好和他本身相等,為對稱矩陣.
AB+BA的轉(zhuǎn)置:(AB+BA)'=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'B'=-BA+A(-B)=-(AB+BA)
其中前兩個等號由脫衣原則得到,第三個等號是A和B的性質(zhì)決定的,最后一個等號是整理合并.
看等號兩邊,AB+BA的轉(zhuǎn)置等于負(fù)的其本身,由定義可知,他是反對稱矩陣