x→0
lim (e^x+x)^(1/x)
=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)
=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)
考慮
lim ln (e^x+x)^(1/x)
=lim ln(e^x+x) / x
=lim ln(1+e^x+x-1) / x
根據(jù)等價(jià)無窮小：ln(1+x)~x
=lim (e^x+x-1) / x
=lim (e^x-1)/x + lim x/x
=1+lim (e^x-1)/x
換元,t=e^x-1,x=ln(1+t)
=1+lim(t→0) t / ln(1+t)
=1+lim 1 / ln(1+t)^(1/t)
=1 + 1 / ln lim (1+t)^(1/t)
根據(jù)重要的極限,
=1 + 1 / lne
=1+1
=2
因此,原極限=e^2
有不懂歡迎追問有簡單一點(diǎn)的做法嗎這樣的做法其實(shí)已經(jīng)很簡單了看起來好像很復(fù)雜，但是思想?yún)s是十分簡單的簡單一點(diǎn)的做法還是有的：x→0lim (e^x+x)^(1/x)=lim e^ln (e^x+x)^(1/x)=e^lim ln (e^x+x)^(1/x)考慮lim ln (e^x+x)^(1/x)=lim ln(e^x+x) / x 然后利用L'Hospital法則=lim [ln(e^x+x)]' / x'=lim (e^x+1) / (e^x+x)=(1+1) / (1+0)=2因此，原極限=e^2有不懂歡迎追問