幾何意義
設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量,Δy是曲線在點(diǎn)M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點(diǎn)M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量.當(dāng)|Δx|很小時(shí),|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點(diǎn)M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.
代數(shù)意義
一元函數(shù)f的在定義域中一個(gè)元素x_1之處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是函數(shù)f所對應(yīng)的圖像Graph（f）(它是一條曲線)在點(diǎn)（x_1,f(x_1)）∈Graph（f）處的切線的斜率.微分是一個(gè)無窮小量而不是數(shù),一般情況下,它是沒有幾何意義的-----除非把它推廣為“函數(shù)的外微分形式”（exterior differential forms of a function）；推廣后的外微分是從定義域的切向量叢到實(shí)數(shù)集的切向量叢的一個(gè)逐纖維地（fiberwisely）為線性同態(tài)的映射.不過你可以把普通的微分理解為一個(gè)無窮序列,序列的每一個(gè)坐標(biāo)是一個(gè)有向線段.比如dx可以理解為在點(diǎn)x處（先把這個(gè)x固定）向右發(fā)出的一組有向線段,每個(gè)有向線段的起點(diǎn)為點(diǎn)x,終點(diǎn)是變化的,但這個(gè)變化是“有方向的”,也就是說作為有向線段的第二個(gè)坐標(biāo)的“模長”要比第一個(gè)坐標(biāo)的“模長”要小一半,第三個(gè)的模長又比第二個(gè)的小了一半,以此類推.這個(gè)無限序列的極限是一個(gè)零向量（也就是x自己指向自己的這個(gè)向量）.要注意這些有向線段可以被看成是向量,但它們都不是“自由向量”（高中教材：自由向量指的是起點(diǎn)可以被任意移動(dòng)（平移）的向量）,因?yàn)樗鼈兊钠瘘c(diǎn)都被固定死了,就是x.