（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數(shù)f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞

1

e

；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜

1

e

．
從而f（x）在（0，

1

e

）單調遞減，在（

1

e

，+∞）單調遞增．
所以，當x=

1

e

時，f（x）取得最小值-

1

e

．
（II）若2f（x）≥g（x），則a≤2lnx+x+

3

x

，
設h（x）=2lnx+x+

3

x

，
則h′（x）=

2

x

+1-

3

x2

=

x2+2x?3

x2

=

(x+3)(x?1)

x2

∵x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4
故a≤4
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]
證明：（III）若lnx＞

1

ex

?

2

ex

則lnx?x＞

x

ex

?

2

e

，
由（I）得：lnx?x≥?

1

e

，當且僅當x=

1

e

時，取最小值；
設m（x）=

x

ex

?

2

e

，則m′（x）=

1?x

ex

，
∵x∈（0，1）時，m′（x）＞0，h（x）單調遞增，
x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，h（x）單調遞減，
故當x=1時，h（x）取最大值?

1

e

故對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

?

2

ex

成立．