由f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立，即3b（x-1）＜x³．
①當(dāng)x=1時(shí)，上式對(duì)于b∈R都成立；
②當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）＞0在[1，2]內(nèi)恒成立?3b＜

x3

x?1

恒成立，x∈（1，2]?3b＜[

x3

x?1

]min，x∈（1，2]．
令g（x）=

x3

x?1

，x∈（1，2]，則g′(x)＝

2x2(x? 3 2 )

(x?1)2

，由g^′（x）=0，解得x＝

3

2

．
列表如下：
由表格可知：當(dāng)x=

3

2

時(shí)，g（x）取得極小值，也即最小值，g(

3

2

)＝

( 3 2 )3

3 2 ?1

=

27

4

．
∴3b＜

27

4

，解得b＜

9

4

．
綜上①②可知：b的取值范圍是(?∞，

9

4

)．