以下過程都是用坐標(biāo)軸方程推導(dǎo),x^2/a^2+y^2/b^2=1,且長軸在x軸上（其實(shí)不影響）.
把方程轉(zhuǎn)化一下：y=|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)| sqr=開平方
先看普通情況——兩軸焦點(diǎn)在0點(diǎn)處的橢圓的面積推導(dǎo)：
因?yàn)閮奢S焦點(diǎn)在0點(diǎn),所以橢圓的面積可以分為4個(gè)相等的部分,分別是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四個(gè)區(qū)域,所以只要求出一個(gè)象限間所夾的面積,然后再乘以4就可以得到整個(gè)橢圓的面積.揀最簡單的來吧,先求第一象限所夾部分的面積.
根據(jù)定積分的定義及圖形的性質(zhì),我們可以把這部分圖形無限分為底邊在x軸上的小矩形,整個(gè)圖形的面積就等于這些小矩形面積和的極限.現(xiàn)在應(yīng)用元素法,在圖形中任找取一點(diǎn),然后再取距這點(diǎn)距離無限近的另一個(gè)點(diǎn),這兩點(diǎn)間的距離記做dx,然后取以dx為底邊,兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的y為高,與曲線相交夠成的封閉的小矩形的面積s,顯然,s=y*dx
現(xiàn)在求s的定積分,即大圖形的面積S,S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y關(guān)于x的定積分
步驟：（第一象限全取正,后面不做說明）
S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx
設(shè) x^2/a^2=sin^2t 則
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圓周率
∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt
這里需要用到一個(gè)公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
證明如下 sinx=cos(pi/2-x) 設(shè)u=pi/2-x 則
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
則∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2)
則S=a*b*(pi/4)
橢圓面積S_c=a*b*pi
可見橢圓面積與坐標(biāo)無關(guān),所以無論橢圓位于坐標(biāo)系的哪個(gè)位置,其面積都等于半長軸長乘以半短軸長乘以圓周率