、一周知識概述
1、二元二次方程
含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程．
關(guān)于x、y的二元二次方程的一般形式為ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一個不為0),其中ax2、bxy、cy2叫做二次項,a、b、c分別是二次項的系數(shù)；dx、ey叫做一次項,d、e分別是一次項的系數(shù)；f叫做常數(shù)項．
例,xy=1,x2－y=0,x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1,x2y=0都不是二元二次方程．
2、二元二次方程組
由一個二元一次方程和一個二元二次方程組組成的方程組,或者由兩個二元二次方程組成的方程組叫二元二次方程組．
3、解二元二次方程組的思想和方法
解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”,將二元轉(zhuǎn)化為一元,將二次轉(zhuǎn)化為一次,轉(zhuǎn)化的基本方法是“消元”和“降次”．因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵．
二、重點、難點和疑點突破
1、由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法(簡稱“二·一”型方程組)
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程組的一般方法,具體步驟是：
①先將方程組中的二元一次方程變形,用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；
②把所得的代數(shù)式代入另一個方程中,使其轉(zhuǎn)化為一個一元二次方程或一元一次方程；
③解所得的一元二次方程或一元一次方程,求出一個未知數(shù)的值；
④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關(guān)系中求出另一個未知數(shù)的值；
⑤寫出方程組的解．
(2)逆用根與系數(shù)關(guān)系定理法
對“二·一”型二元二次方程組成的形如的方程組,可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的兩個根,解這個方程,求得的z1和z2的值,就是x,y的值,當x1=z1時,y1=z2；當x2=z2時,y2=z1,所以原方程組的解是兩組“對稱解”．
2、對“二·一”型的二元二次方程組的解的情況的判別
“二·一”型的二元二次方程組的實數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解．把一元一次方程代入二元二次方程,消去一個未知數(shù)之后,得到一個一元二次方程．由根的判別式可知,解的情況可能是有兩個不相等的實數(shù)解,兩個相等的實數(shù)解或無實數(shù)解,這樣的二元二次方程組的解也就相應地有三種情況．簡言之,有一個二元一次方程的二元二次方程組的實數(shù)解的情況,一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷．
3、“二·二”型方程組的解法
解“二·二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”,轉(zhuǎn)化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是：
(1)當方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時,可將分解得到的兩個二元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二·一”型方程組,解這兩個“二·一”型方程組,所得的解都是原方程組的解．
(2)當方程組中兩個二元二次方程都可分解為兩個二元一次方程時,將第一個二元二次方程分解所得到的每一個二元一次方程分別與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元一次方程組成方程組,可得到四個二元一次方程組,解這四個二元一次方程組,所得的解都是原方程組的解．
4、“二·二”型方程組的解的情況

由同一個二元二次方程化成的兩個二元一次方程一般不能組成方程組．
值得注意的是“二·一”型方程組最多有兩個解；“二·二”型方程組最多有四個解．解方程組時,既不要漏解,也不要增解．
三、解題方法技巧點撥
1、“二·一”型二元二次方程組的解
例1、解方程組
分析：
此方程組含有一個二元一次方程,所以可用代入法解,這是第一種解法；如果把①變形為(x＋y)2=4,得x＋y=2或x＋y=－2,則原方程組可變形為兩個二元一次方程組．解這兩個二元一次方程組所得的解都是原方程組的解,這是第二種解法．
解法1：
由②得x=2y＋5 ③
將③代入①,得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．
整理,得3y2＋10y＋7=0．


點評：解“二·一”型二元二次方程組,一般常采用前一種解法,即先代入消元,再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二種解法是一種特殊解法,它只適合一些特殊形式的方程組．
分
仔細觀察這個方程組,不難發(fā)現(xiàn),此方程組除可用代入法解外,還可聯(lián)系通過構(gòu)造一個以x,y為根的一元二次方程來求解．
解法1：
由①得y=8－x．③
把③代入②,整理得x2－8x＋12=0．
解得x1=2,x2=6．
把x1=2代入③,得y1=6．
把x1=6代入③,得y2=2．

解法2：
根據(jù)韋達定理可知,x,y是一元二次方程z2－8z＋12=0的兩個根,解這個方程,得
z1=2,z2=6．

點悟：“代入法”是解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的一般方法,適用范圍廣；“逆用韋達定理法”雖然簡便,但它只適用于以兩數(shù)和與兩根積的形式給出的方程組,適用范圍比較?。?br/>2、只有一個方程可分解降次的方程組的解法
例3、解方程組
分析：
觀察方程②,把(x－y)看成整體,那么方程②就可以看作是關(guān)于 (x－y)的一元二次方程,且可分解為(x－y－3)(x－y＋1)=0,由此可得到兩個二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．
這兩個二元一次方程分別和方程①組成兩個方程組：

分別解這兩個方程組,就可得到原方程組的解．

由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．
∴x－y－3=0或x－y＋1=0．
∴原方程組可化為兩個方程組：

3、兩個方程都可以分解降次的方程組的解法
例4、解方程組
分析：
方程①的右邊為零,而左邊可以因式分解,從而可達到降次的目的,方程②左邊是完全平方式,右邊是1,將其兩邊開平方,也可以達到降次的目的．

由①得(x－4y)(x＋y)=0
∴x－4y=0或x＋y=0
由②得(x＋2y)2=1
∴x＋2y=1或x＋2y=－1．
原方程可化為以下四個方程組

點評：不要把同一個二元二次方程分解出來的兩個二元一次方程組成方程組,這樣會出現(xiàn)增解問題,同時也要注意防止漏解現(xiàn)象．
4、已知解的情況,確定字母系數(shù)
例5、k為何值時,方程組
(1)有一個實數(shù)解,并求出此解；
(2)有兩個實數(shù)解；
(3)沒有實數(shù)解．
分析：
所考知識點：二元二次方程組的解法及根的判別式,先用代入法消去未知數(shù)y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)根的判別式來討論．

將①代入②,整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0③
△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

點悟：解這種題型的規(guī)律是一般將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程后,利用△=0,△＞0,△＜0來討論的．
解題易錯點是一元二次方程中x2的系數(shù)k2不等于0容易被忽略