g(x)在[a,b]連續(xù) f(x)在(a,b)二階可導 且滿足f''(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0 x∈[a,b] f(a)=f(b)=0 證明:f(x)=0
反證法
證明：
若f(x)在[a,b]上不恒為0
則f(x)在[a,b]上取得正的最大值或負的最小值
不妨設f(x0)=maxf(x)>0,x∈[a,b]
則x0∈(a,b),f'(x0)=0,f"(x0)≤0
那么f''(x0)+g(x0)f'(x0)-f(x0)<0
這與已知矛盾
同理,若f(x1)=minf(x)<0,x∈[a,b]
則同樣可得矛盾
因此,f(x)=0,對任意x∈[a,b]均成立.
以上是全書上的證明,我的疑問是：
若f(x)在[a,b]上不恒為0
則f(x)在[a,b]上取得正的最大值或負的最小值
上面的條件只能推出f(x)在開區(qū)間連續(xù),不是閉區(qū)間 怎么還能推出他一定有最值呢?還有可能取不到最值呢