證明：已知實(shí)數(shù)集A非空.存在a屬于A,不妨設(shè)a不是A的上界,另外,知存在b是A的上界,記a1= a,b1=b ,用a1 ,b1 的中點(diǎn)(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2屬于B ,則取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2屬于A ,則取a2 =（a1+b1)/2 ,b2 =b1 ；……如此繼續(xù)下去,便得兩串?dāng)?shù)列 .其中{an}屬于A 單調(diào)上升有上界（例如b1 ）,{bn} 單調(diào)下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->無窮） .由單調(diào)有界定理,知存在 r,使liman = r (n-->無窮）.由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->無窮）
因?yàn)閧bn}是A的上界,所以對任意x屬于A ,有x無窮 ,x無窮）bn = r 所以 r是A的上界.
而 任意c>0由lim(n-->無窮）an = r知任意c>0知存在N,當(dāng)n>N 有r-c