首先證明有上界,即對于任意的n,xn都小于等于某個常數(shù)C.
我們證明xn<=2,用數(shù)學(xué)歸納法證
1.x1=√2<2;
2.設(shè)xk<=2,x(k+1)=√(2+x(k))<=√(2+2)=2;
可知xn<2;
再證明xn單調(diào)遞增：
剛才已經(jīng)知道xn<=2,則xn=√(2+x(n-1))>=√(x(n-1)+x(n-1))=√2*x(n-1)>=
√x(n-1)*x(n-1)=x(n-1)；上面的推導(dǎo)式的依據(jù)都是x(n-1)<=2
所以xn>=x(n-1),所以xn是單調(diào)增序列
以上就證明了xn序列單調(diào)增有上界,所以極限存在
事實上這個數(shù)列的極限就是2,計算極限可以這樣算
設(shè)x為xn的極限,對式子xn=√(2+x(n-1))兩邊取極限有
x=√(2+x),解得x=2,可知x=2