答：
f(x)=-x^2+bx+c在x>2是減函數(shù),在x<2是增函數(shù)
所以：對稱軸x=b/2=2
所以：b=4
f(x)=-x^2+4x+c=-(x-2)^2+c+4
與x軸交點(diǎn)滿足|AB|=2√(c+4)=6
解得：c+4=9,c=5
所以：f(x)=-x^2+4x+5
g(x)是定義在R上的偶函數(shù)：g(-x)=g(x)
x>=0時(shí),g(x)=f(x)=-x^2+4x+5
x<=0時(shí),-x>=0,g(-x)=-x^2-4x+5=g(x)
所以：x<=0時(shí),g(x)=-x^2-4x+5
所以：
x>=0時(shí),g(x)=-x^2+4x+5開口向下,對稱軸x=2
x<=0時(shí),g(x)=-x^2-4x+5開口向下,對稱軸x=-2
所以：
g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞,-2）或者（0,2）
g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2,0）或者（2,+∞）