（1）設(shè)中點M坐標為（x，y），由中點坐標公式得動點P的坐標為（2x-4，2y-3），
將P點坐標代入圓得到的關(guān)于x、y的方程，就是中點M的軌跡方程（因為點P在圓上）．
即（2x-4）²+（2y-3）²=4；
（2）設(shè)中點N坐標為（x，y），圓心為O，則ON⊥AC，且圓心坐標為（0，0），于是
由kAC＝

y?3

x?4

，kON＝

y

x

，
因為ON⊥AC，所以k_AC?k_ON=-1，即

y?3

x?4

?

y

x

＝?1，整理得
（x-2）²+（y-

3

2

）²=

25

4

；
（3）①根據(jù)題意，可設(shè)圓心為（3，b）．
由y=x²-6x+1，令x=0，則y=1；令y=0，則x=3±2

2

所以，（3-0）²+（b-1）²=（±2

2

）²+b²，解得b=1，則（±2

2

）²+b²=9
所以，圓C方程為（x-3）²+（y-1）²=9
②設(shè)坐標：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同時滿足直線x-y+a=0和圓（x-3）²+（y-1）²=9
聯(lián)立方程組把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B兩個交點，即方程兩個解，則△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，x1x2＝

a2?2a+1

2

③
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即x1x2+a(x1+x2)+a2＝0④
把④代入③解得a=-1，將其代入△=56-16a-4a²進行檢驗，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．