1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)
十七世紀(jì)伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學(xué)》一書中,幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念,用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系.1673年前后笛卡爾(Descartes,法,1596-1650)在他的解析幾何中,已注意到一個變量對另一個變量的依賴關(guān)系,但因當(dāng)時尚未意識到要提煉函數(shù)概念,因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義,大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的. 1673年,萊布尼茲首次使用“function”(函數(shù))表示“冪”,后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量.與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系.
2.十八世紀(jì)函數(shù)概念──代數(shù)觀念下的函數(shù)
1718年約翰·柏努利(Johann Bernoulli ,瑞,1667-1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進(jìn)行了定義:“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量.”他的意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù),并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示. 1755,歐拉(L.Euler,瑞士,1707-1783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量,以某一種方式依賴于另一些變量,即當(dāng)后面這些變量變化時,前面這些變量也隨著變化,我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).” 18世紀(jì)中葉歐拉(L.Euler,瑞,1707-1783)給出了定義:“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式.”他把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù),并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù),還考慮了“隨意函數(shù)”.不難看出,歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.
3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)
1821年,柯西(Cauchy,法,1789-1857) 從定義變量起給出了定義:“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系,當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值,其他變數(shù)的值可隨著而確定時,則將最初的變數(shù)叫自變量,其他各變數(shù)叫做函數(shù).”在柯西的定義中,首先出現(xiàn)了自變量一詞,同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式.不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限. 1822年傅里葉(Fourier,法國,1768——1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示,也可以用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數(shù)的認(rèn)識又推進(jìn)了一個新層次. 1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859) 突破了這一局限,認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要,他拓廣了函數(shù)概念,指出:“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值,y都有一個確定的值,那么y叫做x的函數(shù).”這個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關(guān)系的描述,以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受.這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義. 等到康托(Cantor,德,1845-1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后,維布倫(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義,通過集合概念把函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了,且打破了“變量是數(shù)”的極限,變量可以是數(shù),也可以是其它對象.
4.現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下的函數(shù)
1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù),其避開了意義不明確的“變量”、“對應(yīng)”概念.庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了. 1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng),則稱在集合M上定義一個函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.”
關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)文章
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急求一篇數(shù)學(xué)文章,主題為(1)函數(shù)概念的形成;(2)函數(shù)概念的發(fā)展;(3)函數(shù)的應(yīng)用
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