已知a,b,c∈R+,且ab+bc+ac≥3/2,求證a^3+b^3+c^3≥4分之3根號2 用柯西不等式解.詳細啊,謝謝.

數(shù)學人氣：405 ℃時間：2019-10-17 07:48:51

優(yōu)質(zhì)解答

首先我們有這兩個基本不等式：
a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc>=3/2 左-右=1/2【（a-b）^2+(b-c)^2+(c-a)^2】>=0
3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2 左-右=【（a-b）^2+(b-c)^2+(c-a)^2】>=0
即√【3(a^2+b^2+c^2)】>=(a+b+c)
結(jié)合柯西不等式：
√【3(a^2+b^2+c^2)】*（a^3+b^3+c^3）
>=（a+b+c）*（a^3+b^3+c^3）
>=(a^2+b^2+c^2)^2
即a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)^(3/2)/√3
>=(3/2)^(3/2)/√3
=3√3/4
以上