已知橢圓T的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和Q(a,0)為T的三個頂點.
設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓T于C,D兩點,交直線l2:y=k2x于點E,若k1k2=—b^2/a^2,
證明：E為CD的中點.
證明：橢圓方程：x²/a²+y²/b²=1即b²x²+a²y²=a²b²
將直線y=k1x+p代入橢圓方程,
整理：(a²k1²+b²)x²+2pk1a²x+a²p²-a²b²=0
韋達(dá)定理：x1+x2=-2pk1a²/(a²k1²+b²)
設(shè)CD中點為G（x,y）
x=(x1+x2)/2=-pk1a²/(a²k1²+b²)
代入直線y=k1x+p,求得y=pb²/(a²k1²+b²)
所以中點G[-pk1a²/(a²k1²+b²),pb²/(a²k1²+b²)]
聯(lián)立直線y=k2x和y=k1x+p
解得交點E坐標(biāo)：（p/(k2-k1),k2p/(k2-k1)）
因為k1k2=-b²/a²,所以k2=-b²/a²k1
那么點E的橫坐標(biāo)=p/[-b²/(a²k1)-k1]=-pk1a²/(a²k1²+b²)
縱坐標(biāo)=[-b²/(a²k1)]p/[-b²/(a²k1)-k1]=pb²/(a²k1²+b²)
由此,可知點G和點E的坐標(biāo)重合
所以點E是CD的中點
證畢.
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