（Ⅰ）cos2A+2sin²[(B+C)/2]=1 → 1-2sin²A+2sin²[(B+C)/2]=1 → sinA=sin[(B+C)/2] → A=(B+C)/2；
∴ 3A=180° → A=60°；
由余弦定理：BC²=AC²+AB²-2AC*AB*cosA=2²+1²-2*2*1*cos60°=3,∴ BC=√3；△ABC為RT△；
（Ⅱ）由題意得：(x/sinA)+(y/sinC)=AC；
將 sinA=sin60°=√3/2、sinC=1/2 代入得：(2x/√3)+2y=2,即 y=1-x√3/3；
∴ xy=x*[1-(x√3/3)]=x-(x²√3/3)=-√3/3[x-(√3/2)]²+(3/4)；
xy 最大值：3/4（當(dāng) x=√3/2=BC/2,由RT△可得出：PA=PC,即P位于AC邊的中點時）；答案不是√3/4嗎？cy最大值是√3/4，我那xy計算式最后一項寫算的不對；具體點。。我照你這么算也是3/4還不夠具體嗎？已推得計算式 xy=x-x²√3/3=-√3/3[x-(√3/2)]²+(√3/4)，當(dāng)x≠√3/2時，xy<-0+√3/4，即當(dāng)x稍微偏離數(shù)值2時，xy的值都比√3/4要??；