⒈十字相乘法概念
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式.這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1,a2的積a1•a2,把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1,c2的積c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一次項b,那么可以直接寫成結(jié)果:在運用這種方法分解因式時,要注意觀察,嘗試,并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程.當首項系數(shù)不是1時,往往需要多次試驗,務(wù)必注意各項系數(shù)的符號.

例題
例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次項系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數(shù)項,分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項系數(shù).
分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：
2＝1×2＝2×1；
分解常數(shù)項：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
經(jīng)過觀察,第四種情況是正確的,這是因為交叉相乘后,兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)－7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,對于二次三項式ax2+bx+c(a≠0),如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積,即a=a1a2,常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1
? ╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜線交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積,即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù),從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2 把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法,分解二次項系數(shù)6及常數(shù)項-5,把它們分別排列,可有8種不同的排列方法,其中的一種
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正確的,因此原多項式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出：通過例1和例2可以看到,運用十字相乘法把一個二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解,往往要經(jīng)過多次觀察,才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對于二次項系數(shù)是1的二次三項式,也可以用十字相乘法分解因式,這時只需考慮如何把常數(shù)項分解因數(shù).例如把x^2+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5).
例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：這個多項式可以看作是關(guān)于x的二次三項式,把-8y^2看作常數(shù)項,在分解二次項及常數(shù)項系數(shù)時,只需分解5與-8,用十字交叉線分解后,經(jīng)過觀察,選取合適的一組,即
1 2
?╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解為兩個關(guān)于x,y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數(shù)之差的形式,只有先進行多項式的乘法運算,把變形后的多項式再因式分解.
問：兩上乘積的因式是什么特點,用什么方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2,就變?yōu)?(x-y),它是第一個因式的二倍,然后把(x-y)看作一個整體進行乘法運算,可把原多項式變形為關(guān)于(x-y)的二次三項式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一個整體進行因式分解,這又是運用了數(shù)學中的“整體”思想方法.
例5 x^2+2x-15
分析：常數(shù)項(-15)7 不成立 繼續(xù)試
第二次
1 2
╳
2 3
1X3+2X2=7 所以 分解后為:(x+2)(2x+3)
[編輯本段]⒉十字相乘法（解決兩者之間的比例問題）

原理
一個集合中的個體,只有2個不同的取值,部分個體取值為A,剩余部分取值為B.平均值為C.求取值為A的個體與取值為B的個體的比例.假設(shè)A有X,B有（1-X）.
AX+B（1-X）=C
X=(C-B)/(A-B)
1-X=(A-C)/(A-B)
因此：X∶（1-X）=（C-B）∶(A-C)
上面的計算過程可以抽象為：
A ………C-B
……C
B……… A-C
這就是所謂的十字相乘法.

十字相乘法使用時的注意
第一點：用來解決兩者之間的比例問題.
第二點：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系.
第三點：總均值放中央,對角線上,大數(shù)減小數(shù),結(jié)果放在對角線上.


例題
某高校2006年度畢業(yè)學生7650名,比上年度增長2%,其中本科畢業(yè)生比上年度減少2%,而研究生畢業(yè)數(shù)量比上年度增加10%,那么,這所高校今年畢業(yè)的本科生有多少人?
十字相乘法
去年畢業(yè)生一共7500人,7650÷（1+2%）=7500人.
本科生：-2%………8%
…………………2%
研究生：10%……… 4%
本科生∶研究生=8%∶4%=2∶1.
7500×2/3=5000
5000×0.98=4900
這所高校今年畢業(yè)的本科生有4900人.
[編輯本段]3.十字相乘法解一元二次方程
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0
(1)(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x^2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解.
(2)2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解.
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應(yīng)記住一元二次方程有兩個解.
(3)6x^2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解.
(4)x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.

例題
x^2-x-2=0
(x+1)(x-2)=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2