x,y,z是非負(fù)數(shù)時(shí)
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2≥0
所以,
x^3+y^3+z^3≥3xyz
設(shè)x^3=a,y^3=b,z^3=c
則:a+b+c)/3≥三次根號(abc)
推廣到n也成立
但一定要記住,前提是:a,b,c是非負(fù)數(shù)---從你的提問看,你忽略了這一點(diǎn)為什么“(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2≥0”要除以2，他沒說a,b,c是非負(fù)的由(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)乘以2再除以2后，可以套用a^2-2ab+b^2=(a-b)^2的公式合并后為=[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2。如果不是非負(fù)數(shù)，這個等式是不成立的。由上面的證明可知非負(fù)數(shù)時(shí)，此等式成立（a+b+c)/3≥三次根號(abc)，說明（a+b+c)/3的絕對值≥三次根號(abc)的絕對值。如果是負(fù)數(shù)的話，絕對值大的反而小。所以，負(fù)數(shù)的時(shí)候結(jié)果就有可能是，三次根號(abc)≥（a+b+c)/3。能理解吧？