已知A、B是拋物線X2=2PY（P》0）上的兩個動點,O為坐標原點,非零向量OA、OB滿足|OA+OB|=|OA-OB|求證：直線AB經(jīng)過一定點
已知A、B是拋物線X2=2PY（P》0）上的兩個動點,O為坐標原點,非零向量OA、OB滿足|OA+OB|=|OA-OB|求證：直線AB經(jīng)過一定點
數(shù)學(xué)人氣：540 ℃時間：2019-08-20 22:50:26
優(yōu)質(zhì)解答
非零向量OA、OB滿足|OA+OB|=|OA-OB|,\x0d說明以向量OA,OB為鄰邊作平行四邊形,它的兩條對角線長相等.\x0d即該四邊形是矩形,則OA⊥OB.\x0d設(shè)直線AB方程為x=my+n, 與拋物線y=2px聯(lián)立消去x得：\x0dy-2pmy-2pn=0.\x0d設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則 y1+y2=2pm,y1y2=-2pn.\x0d因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.\x0d即(my1+n)(my2+n) +y1y2=0.\x0d(m+1)y1y2+mn(y1+y2)+n=0.\x0d∴(m+1) （-2pn）+mn2pm+n=0\x0d∴n-2pn =0,n=2p.\x0d所以直線AB方程x=my+n可化為x=my+2p,\x0d顯然直線AB經(jīng)過定點(2p,0).
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