最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.他們很重視數(shù)學(xué),企圖用數(shù)來(lái)解釋一切.宣稱(chēng)數(shù)是宇宙萬(wàn)物的本原,研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘.他們從五個(gè)蘋(píng)果、五個(gè)手指等事物中抽象出了五這個(gè)數(shù).這在今天看來(lái)很平常的事,但在當(dāng)時(shí)的哲學(xué)和實(shí)用數(shù)學(xué)界,這算是一個(gè)巨大的進(jìn)步.在實(shí)用數(shù)學(xué)方面,它使得算術(shù)成為可能.在哲學(xué)方面,這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構(gòu)成實(shí)物世界的基礎(chǔ).
畢達(dá)哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理)著稱(chēng)于世.這定理早已為巴比倫人和中國(guó)人所知,不過(guò)最早的證明大概可歸功于畢達(dá)哥拉斯.他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和,即畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理).
畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)論作了許多研究,將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等.在畢達(dá)哥拉斯派看來(lái),數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型,數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式,數(shù)不但有量的多寡,而且也具有幾何形狀.在這個(gè)意義上,他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象,是一切事物的總根源.因?yàn)橛辛藬?shù),才有幾何學(xué)上的點(diǎn),有了點(diǎn)才有線面和立體,有了立體才有火、氣、水、土這四種元素,從而構(gòu)成萬(wàn)物,所以數(shù)在物之先.自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的,都必須服從“數(shù)的和諧”,即服從數(shù)的關(guān)系.
畢達(dá)哥拉斯還通過(guò)說(shuō)明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系,來(lái)進(jìn)一步證明自己的理論.他曾證明用三條弦發(fā)出某一個(gè)樂(lè)音,以及它的第五度音和第八度音時(shí),這三條弦的長(zhǎng)度之比為6:4:3.他從球形是最完美幾何體的觀點(diǎn)出發(fā),認(rèn)為大地是球形的,提出了太陽(yáng)、月亮和行星作均勻圓運(yùn)動(dòng)的思想.他還認(rèn)為十是最完美的數(shù),所以天上運(yùn)動(dòng)的發(fā)光體必然有十個(gè).
他還有一套這樣的理論：地球沿著一個(gè)球面圍繞著空間一個(gè)固定點(diǎn)處的“中央火”轉(zhuǎn)動(dòng),另一側(cè)有一個(gè)“對(duì)地星”與之平衡.這個(gè)“中央火”是宇宙的祭壇,是人永遠(yuǎn)也看不見(jiàn)的.這十個(gè)天體到中央火之間的距離,同音節(jié)之間的音程具有同樣的比例關(guān)系,以保證星球的和諧,從而奏出天體的音樂(lè).
他同時(shí)任意地把非物質(zhì)的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原,認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”,“數(shù)是萬(wàn)物的本質(zhì)”,是“存在由之構(gòu)成的原則”,而整個(gè)宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧的體系.畢達(dá)哥拉斯將數(shù)神秘化,說(shuō)數(shù)是眾神之母,是普遍的始原,是自然界中對(duì)立性和否定性的原則.