（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．（1分）
∴

BP

AP

＝

AP

PC

．
即

x

x2+16

＝

x2+16

y

．（1分）
∴所求的函數(shù)解析式為y＝

x2+16

x

（x＞0）．（1分）
（2）CD的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化．（1分）
延長(zhǎng)CA交直線MN于點(diǎn)E．（1分）
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．（1分）
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴

AB

CD

＝

AE

CE

＝

1

2

．（1分）
∵AB=4，
∴CD=8．（1分）
（3）∵圓C與直線MN相切，
∴圓C的半徑為8．（1分）
（i）當(dāng)圓C與圓P外切時(shí)，CP=PB+CD，即y=x+8，
∴

x2+16

x

＝x+8，
∴x=2，（1分）
∴BP=2，
∴CP=y=2+8=10，
根據(jù)勾股定理得PD=6
∴BP：PD=

1

3

．（1分）
（ii）當(dāng)圓C與圓P內(nèi)切時(shí)，CP=|PB-CD|，即y=|x-8|，
∴

x2+16

x

＝|x?8|．
∴

x2+16

x

＝x?8或

x2+16

x

＝8?x．
∴x=-2（不合題意，舍去）或無實(shí)數(shù)解．（1分）
∴綜上所述BP：PD=

1

3

．