可以用Cauchy不等式,但是要注意保證等號能夠成立.
首先要減少約束條件,將第二個等式z = -2-y代入第一個等式得x-√3(y+1) = 1.
而所求式x²+y²+z² = x²+2y²+4+4y = x²+2(y+1)²+2.
由Cauchy不等式,(x²+2(y+1)²)(1+3/2) ≥ (x-√3(y+1))² = 1.
得x²+y²+z² = x²+2(y+1)²+2 ≥ 1/(1+3/2)+2 = 2/5+2 = 12/5.
可驗證x = 2/5,y = -√3/5-1,z = -1+√3/5時等號成立.
故x²+y²+z²的最小值就是12/5.謝謝 是不是類似這種題目都可以先減少約束條件 以達到等號成立減少約束是必要的, 否則等號成立得到的方程會多于變量的個數(shù).而且這里減少約束的過程是等價變形, 不會破壞取等的可能.所以嘗試減少約束至少是此類題目的一個比較有希望的思考方向吧.還可以有另外的思路, 就是增加變量, 引入待定參數(shù).就這道題來說(1+(√3/2-t)²+(√3/2+t)²)(x²+y²+z²) ≥ (x-(√3/2-t)y+(√3/2+t)z)².取t使等號能夠成立.