中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭,記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：“我聽說您對數學非常精通,我想請教一下：天沒有梯子可以上去,地也沒法用尺子去一段一段丈量,那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢?”
商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識.其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3,另一條直角邊‘股’等于4的時候,那么它的斜邊‘弦’就必定是5.這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵.”
從上面所引的這段對話中,我們可以清楚地看到,我國古代的人民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了.稍懂平面幾何餓讀者都知道,所謂勾股定理,就是指在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖所示,我們
圖1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊,用弦（c）來表示斜邊,則可得：
勾2+股2=弦2

亦即：
a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的.其實,我國古代得到人民對這一數學定理的發(fā)現(xiàn)和應用,遠比畢達哥拉斯早得多.如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話,那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期,比畢達哥拉斯要早了五百多年.其中所說的勾3股4弦5,正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）.所以現(xiàn)在數學界把它稱為勾股定理,應該是非常恰當的.
在稍后一點的《九章算術一書》中,勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達.書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來,再進行開方,便可以得到弦.”把這段話列成算式,即為：
弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：
c=（a2+b2）(1/2)

中國古代的數學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理,而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明.最早對勾股定理進行證明的,是三國時期吳國的數學家趙爽.趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用形數結合得到方法,給出了勾股定理的詳細證明.在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的.每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a,則面積為（b-a）2.于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡后便可得：
a2+b2=c2

亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
圖2勾股圓方圖

趙爽的這個證明可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識.他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系,既具嚴密性,又具直觀性,為中國古代以形證數、形數統(tǒng)一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范.以后的數學家大多繼承了這一風格并且代有發(fā)展.例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法,只是具體圖形的分合移補略有不同而已.
中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位.尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數統(tǒng)一”的思想方法,更具有科學創(chuàng)新的重大意義.事實上,“形數統(tǒng)一”的思想方法正是數學發(fā)展的一個極其重要的條件.正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數學中,數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的.十七世紀笛卡兒解析幾何的發(fā)明,正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù).”
勾股定理證明評鑒
作者：梁子杰
勾股定理（又叫「畢氏定理」）說：「在一個直角三角形中,斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和.」據考證,人類對這條定理的認識,少說也超過 4000 年!又據記載,現(xiàn)時世上一共有超過 300 個對這定理的證明!
我覺得,證明多,固然是表示這個定理十分重要,因而有很多人對它作出研究；但證明多,同時令人眼花繚亂,亦未能夠一針見血地反映出定理本身和證明中的數學意義.故此,我在這篇文章中,為大家選出了 7 個我認為重要的證明,和大家一起分析和欣賞這些證明的特色,與及認識它們的歷史背境.
證明一
圖一
在圖一中,D ABC 為一直角三角形,其中 Ð A 為直角.我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH.過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L,交 BC 於 M.不難證明,D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）.所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積.類似地,正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積.即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積,亦即是 AB2 + AC2 = BC2.由此證實了勾股定理.
這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行.不單如此,它更具體地解釋了,「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義,這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分!
這個證明的另一個重要意義,是在於它的出處.這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手.
歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年,卒於約公元前 265 年.他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作,并完成了著作《幾何原本》.《幾何原本》是一部劃時代的著作,它收集了過去人類對數學的知識,并利用公理法建立起演繹體系,對后世數學發(fā)展產生深遠的影響.而書中的第一卷命題 47,就記載著以上的一個對勾股定理的證明.
證明二
圖二
圖二中,我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內,留意大正方形中間的淺黃色部分,亦都是一個正方形.設直角三角形的斜邊長度為 c,其余兩邊的長度為 a 和 b,則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和,所以我們有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立.
證明二可以算是一個非常直接了當的證明.最有趣的是,如果我們將圖中的直角三角形翻轉,拼成以下的圖三,我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理,方法如下：
圖三
由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得= 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）
圖三的另一個重要意義是,這證明最先是由一個中國人提出的!據記載,這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽.趙爽為《周髀算經》作注釋時,在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖,亦即是上面圖三的圖形了.
證明三
圖四
圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形.不難看出,整個圖就變成一個梯形.利用梯形面積公式,我們得到∶
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）
有一些書本對證明三十分推祟,這是由於這個證明是出自一位美國總統(tǒng)之手!
在 1881 年,加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統(tǒng),可惜在當選后 5 個月,就遭行刺身亡.至於勾股定理的有關證明,是他在 1876 年提出的.
我個人覺得證明三并沒有甚麼優(yōu)勝之處,它其實和證明二一樣,只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了!更何況,我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單!
又,如果從一個老師的角度來看,證明二和證明三都有一個共同的缺點,它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了.雖然這個恒等式一般都包括在中二的課程之中,但有很多學生都未能完全掌握,由於以上兩個證明都使用了它,往往在教學上會出現(xiàn)學生不明白和跟不上等問題.
證明四

(a) (b) (c)
圖五
證明四是這樣做的：如圖五(a),我們先畫一個直角三角形,然后在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形,為了清楚起見,以紅色表示.又在另一條直角邊下面加上另一個正方形,以藍色表示.接著,以斜邊的長度畫一個正方形,如圖五(b).我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和,剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積.
留意在圖五(b)中,當加入斜邊的正方形后,紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍.現(xiàn)在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來.同時,在斜邊正方形內,卻有一些部分未曾填上顏色.現(xiàn)在依照圖五(c)的方法,將超出范圍的三角形,移入未有填色的地方.我們發(fā)現(xiàn),超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方!由此我們發(fā)現(xiàn),圖五(a)中,紅色和藍色兩部分面積之和,必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積.由此,我們就證實了勾股定理.
這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的.在魏景元四年（即公元 263 年）,劉徽為古籍《九章算術》作注釋.在注釋中,他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理.由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分,又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿,所以后世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」.亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理.
在歷史上,以「出入相補」的原理證明勾股定理的,不只劉徽一人,例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲,都有出現(xiàn)過類似的證明,只不過他們所繪的圖,在外表上,或許會和劉徽的圖有些少分別.下面的圖六,就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結合出來的.留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面.看一看圖六,我們曾經見過類似的圖形嗎?
圖六
其實圖六不就是圖一嗎?它只不過是將圖一從另一個角度畫出罷了.當然,當中分割正方形的方法就有所不同.
順帶一提,證明四比之前的證明有一個很明顯的分別,證明四沒有計算的部分,整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出.我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」,不過,我自己就非常喜歡這些「無字證明」了.
圖七
在多種「無字證明」中,我最喜歡的有兩個.圖七是其中之一.做法是將一條垂直線和一條水平線,將較大直角邊的正方形分成 4 分.之后依照圖七中的顏色,將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中,便可完成定理的證明.
事實上,以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多,但在這裏就未有打算將它們一一盡錄了.
另一個「無字證明」,可以算是最巧妙和最簡單的,方法如下：
證明五

(a) (b)
圖八
圖八(a)和圖二一樣,都是在一個大正方形中,放置了4個直角三角形.留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2.現(xiàn)在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位,成為圖八(b).明顯,圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2.但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變,4 個直角三角形亦相等,所以余下兩個淺黃色部的面積亦應該相等,因此我們就得到 a2 + b2 = c2,亦即是證明了勾股定理.
對於這個證明的出處,有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明,因而宰殺了一百頭牛來慶祝.總之,我覺得這是眾多證明之中,最簡單和最快的一個證明了.
不要看輕這個證明,它其實包含著另一個意義,并不是每一個人都容易察覺的.我現(xiàn)在將上面兩個圖「壓扁」,成為圖九：

(a) (b)
圖九
圖九(a)中間的淺黃色部分是一個平行四邊形,它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b),其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度.而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形,其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b).正如上面一樣,(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的,所以將兩式結合并消去共有的倍數,我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a,這就是三角學中最重要的復角公式!原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的!
在證明二中,當介紹完展開 (a + b)2 的方法之后,我提出了趙爽的「弦圖」,這是一個展開 (a - b)2 的方法.而證明五亦有一個相似的情況,在這裏,我們除了一個類似 (a + b) 的「無字證明」外,我們亦有一個類似 (a - b) 的「無字證明」.這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的,見圖十.

(a) (b)
圖十
證明六
圖十一
圖十一中, 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分,其中 Ð C 為直角,D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB.設 a = CB,b = AC,c = AB,x = BD,y = AD.留意圖中的三個三角形都是互相相似的,并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA,所以
=和=
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy
將兩式結合,得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) =c2.定理得證.
證明六可以說是很特別的,因為它是本文所有證明中,唯一一個證明沒有使用到面積的概念.我相信在一些舊版的教科書中,也曾使用過證明六作為勾股定理的證明.不過由於這個證明需要相似三角形的概念,而且又要將兩個三角形翻來覆去,相當復雜,到今天已很少教科書采用,似乎已被人們日漸淡忘了!
可是,如果大家細心地想想,又會發(fā)現(xiàn)這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別!雖然這個證明沒有提及面積,但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積,這亦即是圖一中黃色的部分.類似地,b2 = cy 亦即是圖一中深綠色的部分.由此看來,兩個證明都是依據相同的原理做出來的!
證明七

(a) (b) (c)
圖十二
在圖十二(a)中,我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系,但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方,而任何正方形都相似,所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2.
不過,細心地想想就會發(fā)現(xiàn),上面的推論中,「正方形」的要求是多余的,其實只要是一個相似的圖形,例如圖十二(b)中的半圓,或者是圖十二(c)中的古怪形狀,只要它們互相相似,那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了!
在蕓蕓眾多的相似圖形中,最有用的,莫過於與原本三角形相似的直角三角形了.

(a) (b)
圖十三
在圖十三(a)中,我在中間的直角三角形三邊上分別畫上三個和中間三角形相似的直角三角形.留意：第 III 部分其實和原本三角形一樣大,所以面積亦相等；如果我們從三角形直角的頂點引一條垂直線至斜邊,將中間的三角形分成兩分,那麼我們會發(fā)現(xiàn)圖十三(a)的面積 I 剛好等於中間三角形左邊的面積,而面積 II 亦剛好等於右邊的面積.由圖十三(b)可以知道：面積 I + 面積 II = 面積 III.與此同時,由於面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2,所以 a2 + b2 = c2.