①可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)
可導(dǎo)是對(duì)定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的；處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù),此外還函數(shù)可以在某處可導(dǎo)；只要一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo),那么就不存在導(dǎo)函數(shù),即使該函數(shù)在其他各處均可導(dǎo).
②可積與原函數(shù)
對(duì)于不定積分：
[同濟(jì)五版(上)]給出的定義是：
在區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx在區(qū)間I上的不定積分.所以可積與存在原函數(shù)是等價(jià)的.
對(duì)于定積分：
同濟(jì)五版對(duì)定積分可積有給出兩個(gè)充分條件
定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積.(因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)的原函數(shù)必存在!反之不成立.）
定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則f(x)在[a,b]上可積.
函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在原函數(shù),那么根據(jù)牛頓萊布尼茲公式,函數(shù)在這個(gè)區(qū)間存在定積分；
函數(shù)在某個(gè)區(qū)間[a,b]存在定積分,則不能確定函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在圓函數(shù).
③可導(dǎo)與連續(xù)
函數(shù)在某處可導(dǎo)那么一定在該處連續(xù)；函數(shù)在某處連續(xù)不一定在該處可導(dǎo).
④連續(xù)與可積
如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù),那么函數(shù)在該區(qū)域可積；反之,如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)域可積,不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù).比如存在第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不連續(xù),但可積.