（1）令y=0，得：x²-（2m-1）x+m²+3m+4=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15，
當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即-16m-15＞0，
∴m＜-

15

16

，
此時y的圖象與x軸有兩個交點；
當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即-16m-15=0，
∴m=-

15

16

，
此時，y的圖象與x軸只有一個交點；
當△＜0時，方程沒有實數(shù)根，即-16m-15＜0，
∴m＞-

15

16

，
此時y的圖象與x軸沒有交點．
∴當m＜-

15

16

時，y的圖象與x軸有兩個交點；
當m=-

15

16

時，y的圖象與x軸只有一個交點；
當m＞-

15

16

時，y的圖象與x軸沒有交點．
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m²+3m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m-1）²-2（m²+3m+4）=2m²-10m-7，
∵x₁²+x₂²=5，
∴2m²-10m-7=5，
∴m²-5m-6=0，
解得：m₁=6，m₂=-1，
∵m＜-

15

16

，
∴m=-1，
∴y=x²+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點C坐標為（0，2），
又y=x²+3x+2=（x+

3

2

）²-

1

4

，
∴頂點M的坐標為（-

3

2

，-

1

4

），
設(shè)過C（0，2）與M（-

3

2

，-

1

4

）的直線解析式為y=kx+b，
解得k=

3

2

，b=2，
∴所求的解析式為y=

3

2

x+2．