證明：已知三角形ABC是銳角三角形,為了不失一般性不妨令0
根據(jù)三角形內(nèi)角和為π
則tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
(這個結(jié)論可以用兩角和的正切展開式再根據(jù)tanπ=0,得到)
設(shè)三個角A,B,C分別對應(yīng)邊a,b,c
根據(jù)余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc*cosA),cosB,cosC同理可得到
根據(jù)正弦定理的面積表達(dá),三角形ABC的面積S=(1/2)absinC=(1/2)acsinB
=(1/2)bcsinA
則tanA*tanB*tanC=tanA+tanB+tanC
=sinA/cosA+sinB/cosB+sinC/cosC
=2bcsinA/(b²+c²-a²)+2acsinB/(a²+c²-b²)+2absinC/(a²+b²-c²)
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
取b²+c²-a²,a²+c²-b²,a²+b²-c²的最大者,不妨設(shè)b²+c²-a²最大
b²+c²-a²=2bccosA=2bc√[1-(sinA)²]=√[b²c²-4S²]
根據(jù)前面所得結(jié)論A≥π/3
2S=bcsinA bc=2S/sinA≤4S/√3
這樣b²+c²-a²=√[b²c²-4S²]≤2S/√3
故tanA*tanB*tanC
=4s[1/(b²+c²-a²)+1/(a²+c²-b²)+1/(a²+b²-c²)]
≥12S[1/(b²+c²-a²)]
≥12S(√3/4S)
=3√3>1
所以tanA*tanB*tanC>1