柯西不等式應(yīng)用條件是所有實數(shù)嗎

數(shù)學(xué)人氣：131 ℃時間：2019-11-01 02:08:11

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn為任意兩組實數(shù),則有
(a1*x-b1)^2+(a2*x-b2)^2+...+(an*x-bn)^2>=0
(a1^2+a2^2+...+an^2)*x^2-2x(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b1^2+b2^2+...+bn^n)>=0
左邊是關(guān)于x的2次函數(shù),其值大于等于零,故判別式
4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)<=0
(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)
這是柯西不等式,從證明過程看,對所有實數(shù)均成立.