第一次數(shù)學危機,是數(shù)學史上的一次重要事件,發(fā)生于大約公元前400年左右的古希臘時期,自根號二的發(fā)現(xiàn)起,到公元前370年左右,以無理數(shù)的定義出現(xiàn)為結束標志.這次危機的出現(xiàn)沖擊了一直以來在西方數(shù)學界占據(jù)主導地位的畢達哥拉斯學派,同時標志著西方世界關于無理數(shù)的研究的開始.
第一次數(shù)學危機表明,幾何學的某些真理與算術無關,幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示.反之,數(shù)卻可以由幾何量表示出來.整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn),古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊.于是,幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位.同時也反映出,直覺和經(jīng)驗不一定靠得住,而推理證明才是可靠的.從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā),經(jīng)過演繹推理,并由此建立幾何學體系.這是數(shù)學思想上的一次革命,是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物.
回顧在此以前的各種數(shù)學,無非都是“算”,也就是提供算法.即使在古希臘,數(shù)學也是從實際出發(fā),應用到實際問題中去的.例如,泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等,都是屬于計算技術范圍的.至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學,并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命,也就繼續(xù)走著以算為主,以用為主的道路.而由于第一次數(shù)學危機的發(fā)生和解決,希臘數(shù)學則走上完全不同的發(fā)展道路,形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系,為世界數(shù)學作出了另一種杰出的貢獻.
但是,自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學的基礎,把數(shù)的研究隸屬于形的研究,割裂了它們之間的密切關系.這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究,使算術和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制,基本理論十分薄溺.這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年.